[論文レビュー] Lawson homology, morphic cohomology and Chow motives

Wenchuan Hu, Li Li|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限商射影的多様体に対する有理係数を含めたチャウモチーフ上での Lawson 係数群および形相コホモロジーを確立し、滑らかな複素射影的曲面における点の Hilbert 標識の公式を導出するための枠組みを適用する。主な貢献として、有限写像および一般曲線のヤコビアンに関する結果を用いて、非自明な Griffiths 群を有する滑らかな曲線の自己積の例を構成している。

ABSTRACT

In this paper, the Lawson homology and morphic cohomology are defined on the Chow motives. We also define the rational coefficient Lawson homology and morphic cohomology of the Chow motives of finite quotient projective varieties. As a consequence, we obtain a formula for the Hilbert scheme of points on a smooth complex projective surface. Further discussion concerning generic finite maps is given. As a result, we give examples of self-product of smooth projective curves with nontrivial Griffiths groups by using a result of Ceresa.

研究の動機と目的

• チャウモチーフの圏に Lawson 係数群および形相コホモロジーを定義し、有限商射影的多様体のモチーフへこれらの理論を拡張すること。
• モチーフと形相コホモロジーを結ぶ関手的枠組みを確立し、モチーフ論の結果をサイクル的不変量へ移すことを可能にすること。
• 理論を応用して、曲面上の Hilbert 標識の Lawson 係数群を計算し、曲線の自己積の Griffiths 群を研究すること。
• 有理係数 Lawson 係数群および有限被覆を用いて、双有理的不変量および被被覆な3次元多様体を探索すること。
• 有限写像およびヤコビアン構成を用いて、非自明な Griffiths 群を有する多様体の新規な例を提供すること。

提案手法

• サイクル空間の Chow 位相を用いたホモトピー群を用いて、チャウモチーフ上での Lawson 係数群および形相コホモロジーを定義する。
• チャウモチーフの圏における対応を用いて、押し出しと射影子を介した対応による Lawson 係数群および形相コホモロジーへの写像作用を定義する。
• 滑らかな準射影的多様体の有理係数 Lawson 係数群が、有限群作用による商多様体に対し、G-不変部分空間を介して同型であることを証明する。
• Friedlander らの既知の結果を用いて、射影バンドル、吹き増し、セル分解可能な多様体に対して理論を適用する。
• Karpenko のモチーフに関する定理を用いて、商多様体の Lawson 係数群および形相コホモロジーを分解する。
• 有限被覆および双有理写像を活用して、ホモロジー的不変量を比較し、有理ホモロジー次元における不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lawson 係数群および形相コホモロジーは、どのようにチャウモチーフの圏へ拡張できるか？
• RQ2 多様体とその有限商との間で、有理係数 Lawson 係数群にはどのような関係があるか？
• RQ3 滑らかな複素射影的曲面上の点の Hilbert 標識は、モチーフ的技法を用いて Lawson 係数群によって記述可能か？
• RQ4 有限被覆は、有理 Lawson 係数群および Griffiths 群にどのようにして全射または単射を誘導するか？
• RQ5 一般の genus ≥3 の曲線の自己積は、非自明な Griffiths 群を有するか？また、ヤコビアンと有限被覆を用いてそのことをどのように示せるか？

主な発見

• Lawson 係数群および形相コホモロジーは、チャウモチーフの圏上でwell-definedな関手であり、対応による押し出しと射影子によって写像作用が誘導される。
• 有限群作用 $G$ が滑らかな準射影的多様体 $X$ に作用するとき、商多様体を $X'$ とすると、$\pi_*$ による自然な同型 $\pi_*:(L_pH_k(X,\mathbb{Q}))^G \cong L_pH_k(X',\mathbb{Q})$ が存在する。
• 滑らかな複素射影的曲面上の $n$ 個の点の Hilbert 標識は、モチーフ的枠組みおよび吹き増しの公式から導かれる Lawson 係数群の公式を持つ。
• 被被覆な3次元多様体では、有理 Lawson 係数群はすべての次数で特徴的次数を除き、単射写像を介して単調に一致する。
• 一般の genus $g \geq 3$ の曲線 $C$ に対して、$g$ 重の自己積 $X = C^g$ は、$1 \leq p \leq g-2$ に対して非自明な有理係数 Griffiths 群 $\mathrm{Griff}_p(X) \otimes \mathbb{Q}$ を持つ。
• 自然な有限被覆 $\pi: C^g \to C^{(g)}$（対称積）および双有理写像 $C^{(g)} \to J(C)$ により、$1 \leq p \leq g-2$ に対して $\dim_{\mathbb{Q}} \mathrm{Griff}_p(C^g) \otimes \mathbb{Q} \geq \dim_{\mathbb{Q}} \mathrm{Griff}_p(J(C)) \otimes \mathbb{Q} > 0$ が成り立つ。