[論文レビュー] Lax comma $2$-categories and admissible $2$-functors

Maria Manuel Clementino, Fernando Lucatelli Nunes|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、laxコマ2カテゴリと2-適応的2関手を導入することで、Janelidzeの圏的ガロア理論の2カテゴリ的拡張を展開する。2随伴性がベース変更2関手を介してlaxコマ2カテゴリ間の2随伴性に引き上げられることを確立し、それらの引き上げがlax自己同型的2モノイドをもたらす十分条件を同定する——2-適応的2関手は、このような構造を誘導するものとして特徴づけられる。

ABSTRACT

This paper is a contribution towards a two dimensional extension of the basic ideas and results of Janelidze-Galois theory. In the present paper, we give a suitable counterpart notion to that of extit{absolute admissible Galois structure} for the lax idempotent context, compatible with the context of extit{lax orthogonal factorization systems}. As part of this work, we study lax comma $2$-categories, giving analogue results to the basic properties of the usual comma categories. We show that each morphism of a $2$-category induces a $2$-adjunction between lax comma $2$-categories and comma $2$-categories, playing the role of the usual extit{change of base functors}. With these induced $2$-adjunctions, we are able to show that each $2$-adjunction induces $2$-adjunctions between lax comma $2$-categories and comma $2$-categories, which are our analogues of the usual lifting to the comma categories used in Janelidze-Galois theory. We give sufficient conditions under which these liftings are $2$-premonadic and induce a lax idempotent $2$-monad, which corresponds to our notion of $2$-admissible $2$-functor. In order to carry out this work, we analyse when a composition of $2$-adjunctions is a lax idempotent $2$-monad, and when it is $2$-premonadic. We give then examples of our $2$-admissible $2$-functors (and, in particular, simple $2$-functors), specially using a result that says that all admissible ($2$-)functors in the classical sense are also $2$-admissible (and hence simple as well). We finish the paper relating coequalizers in lax comma $2$-categories and Kan extensions.

研究の動機と目的

• Janelidzeの圏的ガロア理論を2カテゴリ的設定に拡張し、絶対的適応的ガロア構造の2次元的類似を同定すること。
• 古典的コマ圏の2次元的双対物としてlaxコマ2カテゴリの理論を構築すること。
• 2随伴性をlaxコマ2カテゴリに引き上げた際にlax自己同型的2モノイドを生じるような2関手、すなわち2-適応的2関手を定義し、特徴づけること。
• 2随伴性の合成がlax自己同型的2モノイドを生じる条件を確立し、Kock-Zöberleinモノイドの理論と関連付けること。
• 2-適応的2関手の例を提示する。特に、有限族2カテゴリへの標準的包含関手を含み、古典的適応的関手が2-適応的であることを示す。

提案手法

• laxコマ2カテゴリを、1次元圏のコマ対象と類似する普遍性を持つ2次元的一般化として導入する。
• 2カテゴリ内の各射に対して、コマ2カテゴリとlaxコマ2カテゴリの間の2随伴性を構成し、1次元的ベース変更関手の2次元的双対物をなす。
• これらの2随伴性を用いて、2随伴性の合成を通じてlaxコマ2カテゴリへの2随伴性の2段階的引き上げを構成する。
• 2随伴性の合成がlax自己同型的2モノイドを生じる条件を、2-前モノイド性および普遍的引き上げの性質を用いて分析する。
• 2関手 $ I_{ ext{A}}: ext{A} o ext{Fam}_{ ext{fin}}( ext{A}) $ に理論を適用し、$ ext{A} $ がlextensiveであるとき、それが2-適応的であることを示す。
• 有限極限と余積を備え、スライス圏の積と余積上のスライスの間の自然同型が成り立つlextensive2カテゴリの概念を用いて、重要な同型と全忠実性の結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Janelidze理論における絶対的適応的ガロア構造の適切な2カテゴリ的類似とは何か？
• RQ2 2カテゴリ的設定において、2随伴性の引き上げを可能にするために、古典的ベース変更関手をどのように一般化できるか？
• RQ3 laxコマ2カテゴリへの2随伴性の引き上げが、lax自己同型的2モノイドを生じる条件は何か？
• RQ4 どの2関手が2-適応的であるか、すなわち、このような引き上げを通じてlax自己同型的2モノイドを誘導するか？
• RQ5 古典的に適応的とされる2関手は、新しい枠組みにおいてどの程度2-適応的のままであるか？

主な発見

• 論文は、2カテゴリ内の各射に対して、コマ2カテゴリとlaxコマ2カテゴリの間の2随伴性を構成し、1次元的ベース変更構成の2次元的一般化を実現する。
• 2随伴性がベース変更2関手を介してlaxコマ2カテゴリに引き上げられることを確立し、それにより対応するlaxコマ2カテゴリ間の2随伴性が得られる。
• このような引き上げがlax自己同型的2モノイドを生じる十分条件は、2随伴性の合成が2-前モノイド的であり、lax自己同型的構造を誘導することにある。
• 2カテゴリ $ ext{A} $ がlextensiveであるとき、標準的包含関手 $ I_{ ext{A}}: ext{A} o ext{Fam}_{ ext{fin}}( ext{A}) $ が2-適応的であることが示される。
• 2自然同型 (7.0.3) を用いて、誘導される変換 $ ho_Y^* heta $ に関して $ I_{ ext{A}} $ が全忠実であることが示され、2-適応的であることが確認される。
• すべての古典的適応的2関手が、新しい意味で2-適応的であることが示され、古典的ガロア理論と2カテゴリ的ガロア理論との橋渡しを確立する。