[論文レビュー] Layered Separators in Minor-Closed Families with Applications

Vida Dujmović, Pat Morin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 70被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、最小閉包族（minor-closed families）に属するグラフ、特に有界オイラー総数のグラフを含む、幅が有界である一方でサイズがnに対して線形になり得る階層的セパレータ（layered separators）を導入する。これらのセパレータを活用することで、キュー番号と非反復彩色数のO(log n)の上限を達成し、長年のO(√n)の上限を改善する。さらに、すべての適切な最小閉包族に一般化してO(log^O(1) n)の上限を拡張し、n log^O(1) nの体積を持つより優れた3次元グリッド図形の描画を可能にする。

ABSTRACT

Graph separators are a ubiquitous tool in graph theory and computer science. However, in some applications, their usefulness is limited by the fact that the separator can be as large as Ω ( √ n) in graphs with n vertices. This is the case for planar graphs, and more generally, for proper minor-closed families. We study a special type of graph separator, called a layered separator, which possibly has linear size in n, but has constant size with respect to a different measure, called the breadth. We prove that a wide class of graphs admit layered separators of bounded breadth, including graphs of bounded Euler genus. We use these results to prove O(log n) bounds for a number of problems where O ( √ n) was a long standing previous best bound. This includes queue-number and nonrepetitive chromatic number of bounded Euler genus graphs. We extend these results, with a log O(1) n bound, to all proper minor-closed families. This result also implies that every graph from a proper minor-closed class has a 3-dimensional grid drawing in n log O(1) n volume, where the previous best bound was O(n 3/2). Only for planar graphs was a log O(1) n bound on the queue-number previously known.

研究の動機と目的

• 最小閉包族（例：平面グラフ）において標準的なセパレータがΩ(√n)のサイズをとるという制限を克服すること。
• サイズがnに対して線形であっても、新たな測度「幅（breadth）」に関して有界なサイズを保つ新しいタイプのセパレータ、すなわち階層的セパレータを考案すること。
• 有界オイラー総数のグラフにおいて、キュー番号や非反復彩色数といった重要なグラフパラメータに対してO(log n)の上限を確立すること。
• 構造的グラフ理論と最小除外分解を用いて、階層的セパレータをすべての適切な最小閉包族に拡張すること。
• 3次元グリッド図形の体積上限を、O(n^{3/2})からn log^{O(1)} nに改善するために、階層的セパレータを応用すること。

提案手法

• 階層的セパレータを、層の数を表す「幅（breadth）」が有界であるセパレータとして定義する。これは、階層的グラフ分解における層の数を測る。
• 有界オイラー総数のグラフが、幅が有界な階層的セパレータを有することを証明する。
• 階層的セパレータを用いて、分割統治法と動的彩色技術を用いてキュー番号と非反復彩色数を評価する。
• 構造的グラフ理論と最小除外分解を用いて、すべての適切な最小閉包族にこのフレームワークを拡張する。
• 3次元グリッド図形の描画において、グラフを階層的セパレータを用いて埋め込むことで体積を最小化する。
• 既知の最小閉包族に関する結果を活用し、log^O(1) nの体積上限が、このようなクラス全体に普遍的に成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小閉包族、特に有界オイラー総数のグラフにおいて、幅が有界な階層的セパレータを構築できるか？
• RQ2 階層的セパレータは、キュー番号と非反復彩色数の上限改善にどのような影響を与えるか？
• RQ3 キュー番号のO(log n)の上限を、平面グラフを超えてすべての適切な最小閉包族に拡張できるか？
• RQ4 階層的セパレータを用いた場合、最小閉包族に属するグラフの3次元グリッド図形に必要な最小体積は何か？
• RQ5 階層的セパレータの幅が、グラフパラメータの漸近的複雑度に与える影響は何か？

主な発見

• 有界オイラー総数のグラフは、幅が有界な階層的セパレータを有し、これにより重要なグラフパラメータの上限を改善できる。
• 有界オイラー総数のグラフのキュー番号と非反復彩色数は、O(log n)で有界であり、従来のO(√n)の上限を改善する。
• これらのO(log n)の上限は、すべての適切な最小閉包族に拡張され、同様のパラメータに対してO(log^O(1) n)の複雑度を達成する。
• すべての適切な最小閉包族に属するグラフは、体積n log^{O(1)} nの3次元グリッド図形に描画可能であり、従来のO(n^{3/2})の上限を改善する。
• この結果により、平面グラフが3次元グリッド図形においてlog^O(1) nの体積を達成できるという事実は、最小閉包族全体に一般化されることが確認された。
• 階層的セパレータは、最小閉包族に属する複数のグラフ問題において、改善された漸近的上限を達成する統一的フレームワークを提供する。