[論文レビュー] LCD Cyclic Codes over Finite Fields

Chengju Li, Cunsheng Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限体上でのLCD（線形補完双対性を有する線形符号）循環符号の複数の族を構築し、長さ $ n = q^m - 1 $、$ n = q^m + 1 $、$ n = (q^m - 1)/(q - 1) $ の逆転可能循環符号（すなわちLCD符号に等価）に焦点を当てる。BCH境界を用いて最小距離の下界を導出し、正確な次元を確立する。多くの符号が与えられた長さと次元に対して最適なパラメータを達成する。

ABSTRACT

In addition to their applications in data storage, communications systems, and consumer electronics, LCD codes -- a class of linear codes -- have been employed in cryptography recently. LCD cyclic codes were referred to as reversible cyclic codes in the literature. The objective of this paper is to construct several families of reversible cyclic codes over finite fields and analyse their parameters. The LCD cyclic codes presented in this paper have very good parameters in general, and contain many optimal codes. A well rounded treatment of reversible cyclic codes is also given in this paper.

研究の動機と目的

• 有限体上でのLCD循環符号（同値に逆転可能循環符号）の族を体系的かつ系統的に構築すること。
• 特定の長さにおけるこれらの符号のパラメータ（特に次元と最小距離）を分析すること。
• 構築された符号の多くが、与えられた長さと次元に対して最小距離の観点で最適または近似的に最適であることを確立すること。
• 構造的および代数的特徴付けを含む、逆転可能循環符号の包括的取り扱いを提供すること。
• 導出された最小距離の下界がタイトであると仮説し、今後の解決を目的とした未解決問題を提示すること。

提案手法

• 長さ $ n $ における $ q $-巡回的コセットを用いて、$ \mathrm{GF}(q) $ 上での $ x^n - 1 $ の因数分解を行い、商環 $ \mathrm{GF}(q)[x]/(x^n - 1) $ におけるイデアルを介して循環符号を構築する。
• 特に $ n = (q^m - 1)/(q - 1) $ および $ n = q^m - 1 $ の場合に、BCH境界を適用して符号の最小距離の下界を導出する。
• 特に $ \mathcal{C}_{(q,n,2\delta,1-\delta)} $ の場合に、逆多項式およびGCD技術を用いて逆転可能符号の生成多項式を分析する。
• 生成多項式とその逆多項式のGCDの次数を計算するためのパラメータ $ \epsilon $ と $ \bar{\epsilon} $ を導入し、次元計算に不可欠な役割を果たす。
• ハル次元と双対性理論を用いて $ \mathcal{C} \cap \mathcal{C}^\perp = \{0\} $ を保証し、LCD性質の確認を行う。
• 特に $ \delta = q^{m/2} $ の場合に、Bose境界および $ \mathrm{GF}(q) $ 上の最小多項式の性質を応用して、最小距離の推定値を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $ \mathrm{GF}(q) $ 上の長さ $ n = (q^m - 1)/(q - 1) $ の逆転可能循環符号の正確な次元は何か？ また、$ q $、$ m $、$ \delta $ にどのように依存するか？
• RQ2 有限体 $ \mathrm{GF}(q) $ 上のBCH符号が同時に逆転可能かつLCDであるための条件は何か？ その最小距離と次元は何か？
• RQ3 これらの符号の最小距離の下界を改善できるか、あるいはタイトであると証明できるか？ 特に $ \delta = q^{m/2} $ の場合に。
• RQ4 構築された符号のパラメータは、Grasslのデータベースにおける最良の既知の線形符号と比較してどうなるか？
• RQ5 $ q $-巡回的コセットおよびそのコセットリーダーの構造的性質は、結果として得られるLCD循環符号の次元と最小距離をどのように決定するか？

主な発見

• 偶数の $ m \geq 4 $ および $ \delta = q^{m/2} $ の場合、符号 $ \mathcal{C}_{(q,n,\delta,1)} $ は次元 $ k = n - q^{(m-2)/2}(q-1)m + (q-2)\frac{m}{2} $ および最小距離 $ d \geq \delta + 1 $ を有する。
• 偶数の $ m \geq 4 $ および $ 2 \leq \delta \leq q^{m/2} $ の場合、逆転可能BCH符号 $ \mathcal{C}_{(q,n,2\delta,1-\delta)} $ は長さ $ n = (q^m - 1)/(q - 1) $、$ \epsilon $ と $ \bar{\epsilon} $ に依存する次元、および最小距離 $ d \geq 2\delta $ を有する。
• $ \delta = q^{m/2} $ の場合、符号 $ \mathcal{C}_{(q,n,2\delta,1-\delta)} $ は最小距離 $ d \geq 2\delta + 2 $ を達成し、BCH境界を上回る。
• $ \mathcal{C}_{(q,n,2\delta,1-\delta)} $ の次元は、生成多項式とその逆多項式のGCDの次数を用いて計算され、$ \epsilon $ と $ \bar{\epsilon} $ に依存する明示的公式が存在する。
• 例として、$ (q,m,\delta) = (3,4,9) $ の場合の $[40, 3, 20]$ および $ (4,4,16) $ の場合の $[85, 8, 34]$ が挙げられ、両方とも良好なパラメータを有する。
• 本稿は、導出された最小距離の下界がタイトであると仮説し、これらの族の正確な最小距離を証明する未解決問題を提示している。