[論文レビュー] LCK metrics on Oeljeklaus-Toma manifolds versus Kronecker's theorem

Victor Vuletescu|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$ s $ 個の実埋め込みと $ 2t $ 個の複素埋め込みを持つ数体に付随する Oeljeklaus-Toma多様体が、$ 1 < s < t $ のとき、局所的にKähler的（LCK）な計量をもたないことを確立している。証明は、このような計量の存在を、単数の絶対値がすべての複素埋め込みで等しいという数論的条件に還元し、Kroneckerの単数に関する定理を精密に応用することで矛盾を導く。

ABSTRACT

A locally conformally Kähler (LCK) manifold is a manifold which is covered by a Kähler manifold, with the deck transform group acting by homotheties. We show that the search for LCK metrics on Oeljeklaus-Toma manifolds leads to a (yet another) variation on Kronecker's theorem on units. In turn, this implies that on Oeljeklaus-Toma manifold associated to number fields with $2t$ complex embeddings and $s$ real embeddings with $s

研究の動機と目的

• Oeljeklaus-Toma多様体に局所的にKähler的（LCK）計量が存在するための条件を特定すること。
• LCK構造の自己同型因子が数体の単数群に課す数論的制約を調査すること。
• Kroneckerの古典的定理（すべての埋め込みで絶対値が等しい単数）を、LCK幾何学から生じる新しい文脈に拡張すること。
• $ s < t $ のとき、全正単数の部分群 $ U $ が必要な計量条件を満たすことは不可能であり、したがってLCK構造は排除されることを証明すること。

提案手法

• 単数 $ u \in U $ に対して、自己同型因子の公式 $ \chi(u) = |\sigma_{s+1}(u)|^2 = \cdots = |\sigma_{s+t}(u)|^2 $ を導出し、LCK計量の存在を単数の絶対値に結びつける。
• Kählerポテンシャルにおける平均化の議論を用いて、計量成分が実座標のみに依存することを示し、単数群に制約をもたらす。
• Galois理論と正規閉包 $ K^{ncl} $ を用いて、単数の複素埋め込みの絶対値への自己同型の作用を分析する。
• 最大次数 $ [K:\mathbb{Q}] $ の単数がすべての複素埋め込みで等しい絶対値を持つと仮定し、次数と整除性の議論により矛盾を導く。
• このような単数は $ K $ の真部分体 $ L \subset K $ に含まれることを示し、適切性条件のもとで埋め込みの挙動に矛盾をもたらす。
• $ U $ が $ \mathbb{R}^s $ 内の格子条件を保つ必要があることを使い、$ s < t $ のとき、単数の複素埋め込みの絶対値が不等しくなる構造が強制されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Oeljeklaus-Toma多様体が局所的にKähler的計量をもつための数論的条件は何か？
• RQ2 Kähler被覆の自己同型因子は、数体の単数の複素埋め込みの等しい絶対値として実現可能か？
• RQ3 すべての複素埋め込みで絶対値が等しい単数が存在するならば、それは真部分体に含まれるか？
• RQ4 $ s < t $ のとき、$ U $ に対する適切性および格子条件が課す制約は何か？
• RQ5 $ \mathcal{O}_K^{*,+} $ の単数が、すべての複素埋め込み $ \sigma_i, \sigma_j $ に対して $ |\sigma_i(u)| = |\sigma_j(u)| $ を満たすが、$ \deg(u) = [K:\mathbb{Q}] $ であることは可能か？

主な発見

• $ s $ 個の実埋め込みと $ 2t $ 個の複素埋め込みを持つOeljeklaus-Toma多様体は、$ 1 < s < t $ のとき、LCK計量をもたない。
• LCK計量の存在は、適切な部分群 $ U $ のすべての単数が、すべての複素埋め込みで等しい絶対値を持つ必要があることを意味する。
• 最大次数 $ [K:\mathbb{Q}] $ で、すべての複素埋め込みで絶対値が等しいような単数は、真部分体 $ L \subset K $ に含まれる必要があるが、これは次数の最大性に矛盾する。
• このような単数の存在を仮定すると、次数とGalois作用による整除性の議論により矛盾が生じる： $ 2t+1 \mid s+2t $ だが、$ 1 < s < t $ のときこれは成立しない。
• 実埋め込みの絶対値の積は $ R^s $ に等しく、単数が全正であるため $ \prod r_i \cdot R^{2t} = 1 $ となり、$ R = 1 $ を強制する。これは単数がホメオテティ（相似変換）でない限り矛盾するが、それは根の単位根に限られる。
• 矛盾は、単数が全次数をもつと同時に必要な絶対値の等しさを満たすことはできないが、それには真の部分体に含まれる必要があるため、$ U $ の適切性に反する。