[論文レビュー] Le groupe de Selmer des isog\'enies de hauteur un

Damian Rössler|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、正の特性を持つ完全体上の滑らかで準射影的多様体の関数体上の、高さ1の同一型のアーベル・多様体の間の同一型に対して、セレマー群が、基本多様体上の2つの自然なベクトルバンドル間の準同型の空間に標準的に埋め込まれることを確立する。主な結果は、この埋め込みが、対数微分形式の全体切断からの自然な制限写像の像に含まれることを示しており、これは、正規交叉除法に沿った対数的特異点をもつベクトルバンドル準同型の観点からセレマー群の幾何的実現を与える。

ABSTRACT

On montre que le groupe de Selmer d'une isog\'enie de hauteur un entre deux vari\'et\'es ab\'eliennes d\'efinies sur le corps de fonctions d'une vari\'et\'e quasi-projective et lisse $V$ sur un corps parfait $k_0$ de caract\'eristique $p>0$ peut \^etre plong\'e dans le groupe des homomorphismes entre deux fibr\'es vectoriels naturels sur $V$. / We show that the Selmer group of an isogeny of height one between two abelian varieties defined on the function field of a smooth and quasi-projective variety $V$ over a perfect field $k_0$ of characteristic $p>0$ can be embedded in the group of homomorphisms between two natural vector bundles on $V$.

研究の動機と目的

• 正の特性における関数体上のアーベル多様体間の高さ1の同一型のセレマー群の幾何的実現を提供すること。
• このセレマー群が、基本多様体 V 上の2つの自然なベクトルバンドル間の準同型の空間に単射で埋め込まれることを示すこと。
• アーティン＝ミルン写像によるセレマー群の像が、対数微分形式の全体切断からの自然な制限写像の像に含まれることを確立すること。
• 2015年、ロッスラーが相対フロベニウスの場合に得た結果を、任意の高さ1の同一型へ一般化すること。
• セレマー群が、核のリ Lie 代数の双対と、正規交叉除法に沿った極をもつ対数微分形式を含む準同型の空間に埋め込まれることを証明すること。

提案手法

• ガロアコホモロジー類を微分形式の準同型へ写像するアーティン＝ミルンの標準的単射準同型 ΦΓK: H¹(K, ΓK) → HomK(F∗K(ωΓK), ΩK[1]/k₀) を用いる。
• 基本多様体上の切断から一般化されたファイバーへの写像 ρ: HomV(F∗V(ωΓ), ΩV[1]/k₀(log E)) → Hom(F∗K(ωΓK), ΩK[1]/k₀) を自然に定義する。
• ΦΓK と基底変換の整合性を用いて、セレマー群の ΦΓK による像が ρ の像に含まれることを示す。
• 高さ1の同一型の合成に関して ΦΓK が整合的であることから、相対フロベニウス同一型の場合への還元を可能にする。
• 余次元1の点における局所環と完備化による持ち上げの議論を用い、基本多様体の正規性とエタール局所構造に依存する。
• 正規スキーム上の連接層の準同型は、余次元1の点における振る舞いによって決定され、正規スキーム上の拡張の一意性を用いて、局所データを全体切断に持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における関数体上のアーベル多様体間の高さ1の同一型のセレマー群は、基本多様体上のベクトルバンドル準同型の空間に埋め込まれるか？
• RQ2 アーティン＝ミルン写像によるセレマー群の像は、対数微分形式の全体切断からの自然な制限写像の像に含まれるか？
• RQ3 核と対数微分形式を関連づけるベクトルバンドル準同型を通じて、セレマー群を幾何的に実現することは可能か？
• RQ4 特異点集合 E（正規交叉除法）の構造は、セレマー群の埋め込みにどのように影響を与えるか？
• RQ5 このような幾何的実現において、仮定 A[m](K) ≃ (Z/mZ)²ᵍ を弱めるか、あるいは取り除くことは可能か？

主な発見

• セレマー群 Sel(K, ιK) は、核のリ Lie 代数の双対の引き戻しと、基本多様体 V 上の対数微分形式の層との間の準同型の空間に標準的に単射で埋め込まれる。
• アーティン＝ミルン写像 ΦιK によるセレマー群の像は、ΩV[1]/k₀(log E) の全体切断からの制限写像 ρ の像に含まれる。
• 曲線の場合（dim V = 1）には、埋め込みが HomV(F∗V(ωΓ), ΩV[1]/k₀(E)) に倣う。ここで E は悪還元の除法である。
• 埋め込みは高さ1の同一型の合成と可換であり、相対フロベニウスの場合への還元を可能にする。
• 証明は、正規スキーム上の準同型の拡張の一意性と、関与する層に torsion がないことから、余次元1の点における局所データが一意に全体に持ち上がることに依存する。
• 結果は、基本多様体 V が正の特性の完全体上ですべて滑らかで準射影的であり、悪還元の特異点集合 E が正規交叉除法であるという仮定のもとで成り立つ。