[論文レビュー] Le groupe des traces de Poisson de la variete quotient h+h*/W en rang 2

Jacques Alev, Loïc Foissy|ArXiv.org|Mar 6, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文はランク2における商多様体 $\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W$ の零番目のポアソンホモロジー群 $HP_0$ を計算し、その次元が対応するウェイユ代数の不変量の零番目のホッホシュタイナー・ホモロジーと一致することを示している。$\mathfrak{sl}(2)$-加群の表現論的技法とプレシズムを用いて、タイプ $A_2$ では $\dim_{\mathbb{C}} HP_0 = 1$、$B_2$ では $2$、$G_2$ では $3$ であることを証明し、これらのケースで $HH_0$ と正確に一致することを確立している。

ABSTRACT

Let $V$ be a symplectic space over $\mathbb{C}$, $dim_\mathbb{C} V=2l$, and let $G$ be a finite subgroup of $Sp(V)$. The invariant regular functions $\mathbb{C}[V]^G$ inherit a Poisson algebra structure and so the quotient variety ${\cal X}=V/G$ becomes then an affine algebraic Poisson variety. One can now consider the non commutative deformation of $\cal X$ given by the invariant algebra $A_l(\mathbb{C})^G$, where $A_l(\mathbb{C})$ stands for the Weyl algebra of rank $l$. There exist two families of natural examples of this situation. The first concerns wreath products of a finite subgroup of $SL(2,\mathbb{C})$ with an appropriate symmetric group acting on $(\mathbb{C}^2)^n$; the second family is constructed with a Weyl group $W$ acting on the double of the reflexion representation ${\mathfrak{h}}\oplus {\mathfrak{h}}^*$. A nice result of Berest, Etingof and Ginzburg establishes the finiteness of the dimension of $HP_0({\cal X})= \mathbb{C}[\cal X]/\{\mathbb{C}[\cal X], \mathbb{C}[\cal X]\}$, the Poisson trace group of $\cal X$. The purpose of this work is to compute this dimension in certain cases and in particular to compare it to the dimension of the usual trace group of the above mentioned non commutative deformation. The principal theorem establihed here is : {\bf Theorem.} With the above notations, we have the following equality: $$dim_\mathbb{C} HP_0({\mathfrak{h}\oplus {\mathfrak{h}}^*}/W)=dim_\mathbb{C} HH_0(A_l(\mathbb{C})^W).$$ Moreover, this common dimension is 1 in type $ A_2$, 2 in type $B_2$ and 3 in type $G_2$. We also give examples where the difference of these two dimensions is unbounded.

研究の動機と目的

• ランク2における商多様体 $\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W$ の零番目のポアソンホモロジー群 $HP_0$ を計算すること。
• ウェイユ代数不変量 $A_l(\mathbb{C})^W$ の零番目のホッホシュタイナー・ホモロジー $HH_0$ と $HP_0$ を比較すること。
• ランク2のウェイユ群のケースにおいて、$HP_0$ と $HH_0$ の次元が一致することを確立し、良好な変形性質を示唆すること。
• 不変量の2次部分から導かれるリー代数 $\mathfrak{g}$ の作用下でのポアソン代数の構造とその成分を分析すること。
• $HP_0$ と $HH_0$ の次元が異なるケースを探索し、その差が任意に大きくなる可能性を示すこと。

提案手法

• 著者たちは、2次成分に注目することで、$\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$ 上のポアソン構造を分析し、これにより不変量に作用するリー代数 $\mathfrak{g}$ を得る。
• 彼らは $HP_0$ の計算を、$\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$ の自明な同型的成分と、ポアソン括弧の像との交わりに還元する。
• ランク2のウェイフル群のケースでは、リー代数 $\mathfrak{g}$ は $\mathfrak{sl}(2)$ に同型であり、プレシズムと $\mathfrak{sl}(2)$-加群の表現論の適用が可能になる。
• この手法は、商代数における同型的成分と単項式基底の直接計算に依存し、特に不変量の環における生成子と関係式を用いる。
• 著者たちは、$HP_0 \cong R/J$ であることに着目し、ここで $R$ は不変量の環で $J$ はポアソン括弧によって生成されるイデアルであるとし、$J$ の明示的生成子を用いて次元を計算する。
• $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^n$ のような他の族のケースでは、$HP_0$ と $HH_0$ を別々に計算し、比較することで、$n$ の増加に従い差が指数関数的に増大することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク2における商多様体 $\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W$ の零番目のポアソンホモロジー群 $HP_0$ の次元は何か？
• RQ2 ランク2のケースにおいて、$HP_0$ と $HH_0$ は同じ次元を持つのか？
• RQ3 不変量の2次リー代数 $\mathfrak{g}$ のモジュールとしてのポアソン代数 $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$ の構造は何か？
• RQ4 $HP_0$ と $HH_0$ が次元で異なるケースは存在するか？その差はどれほど大きくなるか？
• RQ5 ポアソン導来イデアルは $\mathbb{C}[\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*]^W$ 内で常に結合的両側イデアルであるか？

主な発見

• タイプ $A_2$ に対して、$\dim_{\mathbb{C}} HP_0(\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W) = 1$ であり、$HH_0$ と一致する。
• タイプ $B_2$ に対して、$\dim_{\mathbb{C}} HP_0(\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W) = 2$ であり、$HH_0$ と一致する。
• タイプ $G_2$ に対して、$\dim_{\mathbb{C}} HP_0(\mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^*/W) = 3$ であり、$HH_0$ と一致する。
• $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^n$ のケースでは、$\dim_{\mathbb{C}} HP_0(S^G) = 2^n - 2$ かつ $\dim_{\mathbb{C}} HH_0(A^G) = \frac{2}{3}(2^{n-1} - (-1)^{n-1})$ であり、$n$ の増加に従い差が増大することが示される。
• 差 $\dim HP_0 - \dim HH_0$ は漸近的に $\frac{2}{3}(2^n + (-1)^{n-1} - 3)$ に近づき、$n$ と共に無限大に発散する。
• 本論文では、ポアソン導来イデアルが常に結合的イデアルでないことが特定され、タイプ $B_2$ および $G_2$ において反例が存在することが示されている。