[論文レビュー] Le groupe fondamental d'un espace homogène d'un groupe algébrique linéaire

Mikhail Borovoi, Cyril Demarche|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、G がアーベルであるとき、複素数体上の連結な線型代数的群の同次空間に対する位相的基本群の代数的定義を確立し、Pic(G)=0 かつ H が連結またはアーベルである条件下で、G と H の特徴群を用いてそれを計算する。さらに、代数的閉体の正の特性を持つ体上でのそのような空間の p と互いに素なエタール基本群を、同じ特徴群のデータを用いて計算し、再帰的群の代数的基本群に関する先行結果を拡張する。

ABSTRACT

Soit X un espace homogène d'un groupe algébrique linéaire connexe G sur C. Soit x un C-point de X. On désigne par H le stabilisateur de x dans G. On montre qu'on peut définir algébriquement le groupe fondamental topologique π_1(X(C),x), si ce groupe fondamental topologique est abélien. Si Pic(G)=0 et H est connexe ou abélien, on calcule π_1(X(C),x) en termes des groupes de caractères de G et H. En outre, si G et X sont définis sur un corps algébriquement clos de caractéristique p quelconque, on calcule la partie première à p du groupe fondamental étale de X en termes des groupes de caractères de G et H (si Pic(G)=0 et H est connexe). Let X be a homogeneous space of a connected linear algebraic group G defined over C. Let x be a C-point of X. We denote by H the stabilizer of x in G. We show that if the topological fundamental group π_1(X(C),x) is abelian, then it can be defined algebraically. If Pic(G)=0 and H is connected or abelian, we compute π_1(X(C),x) in terms of the character groups of G and H. Furthermore, when G and X are defined over an algebraically closed field of arbitrary characteristic p, we compute the prime-to-p étale fundamental group of X in terms of the character groups of G and H (if Pic(G)=0 and H is connected).

研究の動機と目的

• G がアーベルであるとき、複素数体上の同次空間 X=G/H の位相的基本群を代数的に定義すること。
• Pic(G)=0 かつ H が連結またはアーベルである条件下で、π₁^top(X,x) を G と H の特徴群の言葉で計算すること。
• G と X が正の特性の代数的閉体上に定義されているとき、この計算を p と互いに素なエタール基本群へ拡張すること。
• 線型代数的群およびその同次空間の文脈において、代数的および位相的アプローチを統合すること。
• 再帰的群の代数的基本群に関する先行結果を、より一般的な同次空間へ一般化すること。

提案手法

• 標準的生成子 ξ を用いた ℤ(1)=π₁^top(ℂ×,1) による π₁^top(X,x) 及びそのねじれ π₁^top(X,x)(-1) を用いる。
• 代数的要素 π₁^top(X,x)(-1)_alg を、(G_m,1) から (X,x) へのモルフィズムの像として定義する。
• フラスク解体および特徴群の双対性の理論を用いて、π₁^top(X,x) を ℤ 上の Ext 群に関連付ける。
• G と H のコキャラクタ群および特徴群を含む完全系列を用い、Ext^0(⟨Ĝ→Ĥ⟩, ℤ) ⊗ ℤ_(p’) を通じて基本群を計算する。
• Brion および Szamuely の p と互いに素なエタール被覆および Pic(G) の構造に関する結果を用い、提示された条件下で計算が有効であることを保証する。
• canonical isomorphism として、p と互いに素なエタール基本群と係数が ℤ_(p’) である Ext 群との間の同型を確立し、最終的な結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数体上の同次空間 X=G/H の位相的基本群は、G がアーベルであるとき代数的に定義可能か？
• RQ2 Pic(G)=0 かつ H が連結またはアーベルである条件下で、π₁^top(X,x) は G と H の特徴群の言葉で明示的に計算可能か？
• RQ3 G と X が正の特性の代数的閉体上に定義されているとき、X の p と互いに素なエタール基本群の構造は何か？
• RQ4 同じ条件下で、G と H の特徴群は p と互いに素なエタール基本群をどのように決定するか？
• RQ5 G_m から X への代数的モルフィズムと X の基本群との関係は何か？

主な発見

• 位相的基本群 π₁^top(X,x) は、アーベルであるとき、π₁^top(X,x)(-1) 内の代数的要素の部分集合を用いて代数的に定義可能である。
• Pic(G)=0 かつ H が連結またはアーベルであるとき、π₁^top(X,x) は Ext 群 Ext^0_ℤ(⟨Ĝ→Ĥ⟩, ℤ) に同型であり、特徴群を用いて計算される。
• p と互いに素なエタール基本群 π₁^ét(X,x)^(p') は、自然同型で Ext^0_ℤ(⟨Ĝ→Ĥ⟩, ℤ) ⊗ ℤ_(p’) に同型であり、G と H の特徴群を用いて計算される。
• 埋め込み j:H^tor → Q の選択に依存しないため、結果は正規的である。
• フラスク解体および双対性を含む可換図式を通じて、基本群と Ext 群との同型が確立される。
• この結果は、再帰的群の代数的基本群に関する先行研究を、連結またはアーベルな安定化群をもつ任意の同次空間へ一般化する。