[論文レビュー] Le système d'Euler de Kato en famille (I)

Shanwen Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$-進ウェイト空間 $ω$ 上で古典的対象を補間する、カトウのオイラー系の族と明示的相互法則の族を構成する。$p$-進モジュラー形式および分布を用いて、カトウの指数写像の $p$-進補間を確立し、$p$-進モジュラー形式およびアイゼンスタイン分布を介して、族バージョンの明示的相互法則を証明する。

ABSTRACT

This article is the first article of a serie of articles on the generalization of Kato's Euler system. The main subject of this article is to construct a family of Kato's Euler systems and a family of Kato's explicit reciprocity laws over the weight space, which interpolate the corresponding classical objects.

研究の動機と目的

• ウェイト空間 $\mathscr{W}$ 上でカトウのオイラー系を $p$-進族に一般化し、古典的構成を $p$-進解析的設定に拡張すること。
• 臨界 $p$-進 $L$-関数値に対する古典的カトウ相互法則を補間する、$\mathscr{W}$ 上の明示的相互法則の族を構成すること。
• $p$-進モジュラー形式および分布の族を用いて、カトウの指数写像の $p$-進補間を確立すること。
• アイゼンスタイン＝クロネッカー分布の $p$-進族を定義・研究し、それらを族における明示的相互法則と結びつけること。
• 第二部で $p$-進 $L$-関数およびイwasawa理論の族を扱うにあたり、基礎的枠組みを提供すること。

提案手法

• ユニバーサル $p$-進特性および剛体解析幾何学を用いて、ウェイト空間 $\mathscr{W}$ 上にバナッハ表現の $p$-進族を構成する。
• 古典的アイゼンスタイン級数の $p$-進補間を通じて、アイゼンスタイン＝クロネッカー分布の族 $z_{\mathbf{Eis},c,d}(\kappa^{\mathbf{univ}},j)$ を導入する。
• ユニバーサル特性 $\kappa^{\mathbf{univ}}$ および $p$-進ゼータ関数を用いて $p$-進 $L$-関数を定義し、分布 $z_{\mathbf{Eis},c,d}$ と関連付ける。
• 表現 $\mathbf{D}_{1,j,\mathscr{W}}$ の構造を用いて、オイラー系の族に双対指数写像 $\exp^*_{\mathbf{Kato},\nu}$ を適用する。
• オイラー系の族を用いてガロア群上の 2-コホモロジーを構成し、リー代数コホモロジーに持ち上げることで相互法則を導出する。
• アミーズ変換および $p$-進積分を用いて、$p$-進 $L$-値と相互法則の項（特にモジュラー形式の定数項）を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カトウのオイラー系を、古典的点における古典的系を補間するウェイト空間 $\mathscr{W}$ 上の $p$-進族にどのように拡張できるか？
• RQ2 臨界 $p$-進 $L$-関数値に対する古典的カトウ相互法則を補間する $p$-進族の明示的相互法則を構成できるか？
• RQ3 $p$-進アイゼンスタイン＝クロネッカー分布は、族における相互法則の補間を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 双対指数写像 $\exp^*_{\mathbf{Kato},\nu}$ は $p$-進族設定においてどのように振る舞い、オイラー系と関係するか？
• RQ5 $p$-進モジュラー形式の定数項は、ユニバーサル分布の $p$-進積分として解釈可能であり、それが相互法則に導くか？

主な発見

• 本稿は、ユニバーサル特性 $\kappa^{\mathbf{univ}}$ をパrameterとするウェイト空間 $\mathscr{W}$ 上で、カトウのオイラー系の $p$-進族を構成し、古典的ウェイトにおける古典的系を補間する。
• 古典的カトウ相互法則を $p$-進族設定に一般化した、$\mathscr{W}$ 上の明示的相互法則の族が確立された。
• 表現 $\mathbf{D}_{1,j,\mathscr{W}}$ の族に対して、双対指数写像 $\exp^*_{\mathbf{Kato},\nu}$ が構成され、相互法則の補間が可能になった。
• オイラー系に付随する $p$-進モジュラー形式の定数項が、アミーズ変換を介してユニバーサルアイゼンスタイン分布の $p$-進積分に等しいことが示された。
• 重要な等式 $\exp^*_{\mathbf{Kato},\nu}(z_{M,A}) = \frac{1}{(j-1)!}M^{-2j}\operatorname{ord}(\alpha/M)^{j-1}\kappa^{\mathbf{univ}}(M/\operatorname{ord}(\alpha/M))F_{c,\alpha/M,\beta/M}(\kappa^{\mathbf{univ}},j)E^{(j)}_{d,\gamma/M,\delta/M}$ が証明され、族における相互法則が確認された。
• 特殊値の $L$-関数の補間には $p$-進積分および $p$-進ゼータ関数が用いられ、それらが相互法則を通じてオイラー系と結びつけられた。