[論文レビュー] Leader Election Problem Versus Pattern Formation Problem

Yoann Dieudonné, Franck Petit+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2009

Optimization and Search Problems参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自律的移動型ロボットのCORDAモデルにおいて、リーダー選出と任意のパターン形成の等価性を確立している。リーダー選出が解けるのは、鏡像性（chirality）が存在する場合n ≥ 4、存在しない場合n ≥ 5のときであり、幾何的対称性の破壊と2台の指定ロボットによる安定した座標系確立に基づく、新規の協調メカニズムを用いて証明されている。

ABSTRACT

Leader election and arbitrary pattern formation are funda- mental tasks for a set of autonomous mobile robots. The former consists in distinguishing a unique robot, called the leader. The latter aims in arranging the robots in the plane to form any given pattern. The solv- ability of both these tasks turns out to be necessary in order to achieve more complex tasks. In this paper, we study the relationship between these two tasks in a model, called CORDA, wherein the robots are weak in several aspects. In particular, they are fully asynchronous and they have no direct means of communication. They cannot remember any previous observation nor computation performed in any previous step. Such robots are said to be oblivious. The robots are also uniform and anonymous, i.e, they all have the same program using no global parameter (such as an identity) allowing to differentiate any of them. Moreover, we assume that none of them share any kind of common coordinate mechanism or common sense of direction and we discuss the influence of a common handedness (i.e., chirality). In such a system, Flochini et al. proved in [11] that it is possible to elect a leader for n \geq 3 robots if it is possible to form any pattern for n \geq 3. In this paper, we show that the converse is true for n \geq 4 when the robots share a common handedness and for n \geq 5 when they do not. Thus, we deduce that with chirality (resp. without chirality) both problems are equivalent for n \geq 4 (resp. n \geq 5) in CORDA.

研究の動機と目的

• 非同期的で匿名的かつ無記憶の移動型ロボットシステムにおけるリーダー選出と任意のパターン形成の関係を調査すること。
• 方向感覚や鏡像性といった共通の協調メカニズムが存在しない状況で、リーダー選出がパターン形成を意味するかどうかを特定すること。
• 異なる対称性仮定下での解法可能性に必要なロボット数のタイトな下界を確立すること。
• 完全に非同期的かつ方向が不明な環境においても、リーダー選出を基本としてパターン形成を可能にする協調メカニズムを設計すること。

提案手法

• Flochiniらの知られている結果（パターン形成がリーダー選出を含意すること）を活用し、CORDAモデルにおいてその逆を証明する。
• 2ロボット協調メカニズムを導入：1台のロボット（r_l1）が重心から最も近い唯一のロボットとして選出され、2番目のロボット（r_l2）が次に近いものとして選ばれ、非同一直線上に配置されることで鏡像性が定義される。
• r_l1とr_l2を重心からの特定の距離に配置することで、幾何的対称性の破壊を実現し、パターン形成中における座標系の安定化を図る。
• r_l1とr_l2が指定位置に到達するまで他のロボットが移動しないようにする述語を定義し、システムの安定性を確保する。
• 目標パターンの同心円状の囲いの上に、r_l1とr_l2の予約済み最終位置を定義し、座標系の整合性を維持する。
• r_l1、r_l2および重心がなす凸角の向きを用いて、初期に共有されていなくても共通の手の向き（鏡像性）を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に非同期的かつロボットが匿名である状況下で、CORDAモデルにおいてリーダー選出が任意のパターン形成を解けるかどうか。
• RQ2 リーダー選出が可能である場合、鏡像性が共有されていなくても、パターン形成が解けるために必要なロボットの最小数は何か。
• RQ3 グローバルな方向性や共通の方向性が欠如している状況でも、ローカルな幾何的観測のみを用いて安定した座標系を確立できるか。
• RQ4 完全に非同期的で、匿名的かつ無記憶のロボットシステムにおいて、対称性をどのように破壊することで決定的協調を可能にするか。
• RQ5 このようなシステムにおいて、リーダー選出とパターン形成の必要十分条件は何か。

主な発見

• 鏡像性（chirality）が存在する場合、n ≥ 4のロボットで、CORDAモデルにおいてリーダー選出と任意のパターン形成は等価である。
• 鏡像性が存在しない場合、n ≥ 5のとき、2つの問題は等価であり、タイトな下界が確立される。
• Flochini らの定理1.1の逆が成り立つ：指定された条件下でリーダー選出が解けるならば、パターン形成も解ける。
• 提案されたアルゴリズムは、2台の指定ロボット（r_l1 と r_l2）を用いて、初期に共通の方向性がなくても安定した座標系を確立する。
• 幾何的対称性と距離に基づく配置を活用することで、完全に非同期的で、匿名的かつ無記憶のシステムにおいて決定的協調を実現する。
• この解決策は非同期性に強く、ロボット間の記憶、通信、識別子を必要とせず、ローカル観測と幾何的不変量にのみ依存する。