[論文レビュー] Leading anomalies, the drift Hamiltonian and the relativistic two-body system

Bernard Michael Nabet, Barak Kol|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における相対論的2体問題を解くための新規なアプローチを提示する。ニュートン的保存量の主要な破れ（「相対論的異常」と呼ばれる）に注目することで、特定の後ニュートン的次数での完全な解を計算するのではなく、相対論的効果（近日点移動やスピン軌道の歳差など）を効率的に計算する。時間平均化された摂動ハミルトニアン（ドリフトハミルトニアン）を導出し、その結果、テスト質量極限での既知の式と一致する。

ABSTRACT

We suggest to solve for the motion of the two body problem in General Relativity by identifying the leading violation of conserved quantities, referred to as (relativistic) anomalies, ordered by the post-Newtonian order at which they appear. This differs from the standard procedure of obtaining the full solution up to a prescribed order. We find that the reduced Hamiltonian which describes the drift in the space of conserved quantities is given by the average of the perturbation Hamiltonian. Using this approach the averaging is done prior to the derivation of time evolution, thereby economizing the computation. The computations become similar to those in the Hamilton-Jacobi method, while staying in the more comfortable setting of the Hamiltonian formulation. We apply this approach of leading anomalies and the drift Hamiltonian to the binary problem and treat several perturbations: 1PN, spin-orbit and spin-spin. On the way we discuss the interpretation of the Laplace-Runge-Lenz vector as a generator of scale-preserving conformal transformations in momentum space.

研究の動機と目的

• ニュートン的保存量の破れの主要なオーダー（「相対論的異常」と呼ばれる）に注目することで、一般相対性理論における相対論的2体問題を扱う。
• 保存量のゆっくりとした時間的変化を記述するドリフトハミルトニアンを導出し、後ニュートン的力学の計算を効率化する手法を開発する。
• 完全な運動方程式を解かずに、Laplace-Runge-Lenz ベクトルの異常を用いて1PNの近日点移動を再導出する。
• スピン軌道およびスピンスピン相互作用を、異常フレームワーク内で体系的に取り扱い、それらに関連する異常を計算する。
• 運動量空間におけるスケール保存型の共形変換の生成子としてのLaplace-Runge-Lenz ベクトルの幾何学的・対称性的解釈を明確にする。

提案手法

• 各ニュートン的保存量の、後ニュートン的次数における主要な破れ（相対論的異常）を特定し、出現順序に従ってオーダーを整列する。
• ドリフトハミルトニアンを摂動ハミルトニアンの時間平均として定義し、保存量の定数空間におけるゆっくりとした時間的変化を記述する。
• 解析接続および留数計算（例えば、複素平面における積分路による積分）を用いて、必要な時間平均を効率的に計算する。
• ドリフトハミルトニアン形式を用いて、2体系における1PN、スピン軌道、スピンスピン相互作用の異常を計算する。
• ポアソン括弧の構造を用いて、Laplace-Runge-Lenz ベクトルに関連する対称性の位相空間生成子を導出し、それらを運動量空間における共形変換として解釈する。
• 特にスピン軌道およびスピンスピン歳差周波数に関して、テスト質量極限での既知の式と一致することを確認することで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な運動方程式ではなく、保存量の主要な異常を観点に、相対論的2体問題をどのように再解釈できるか？
• RQ2 時間平均化された摂動ハミルトニアンは、保存量のゆっくりとしたドリフトを記述する上で、数学的・物理的にどのような役割を果たすか？
• RQ3 Laplace-Runge-Lenz ベクトルの対称性は、運動量空間における共形変換とどのように関係し、相対論的領域で物理的にどのように解釈できるか？
• RQ4 1PN、スピン軌道、スピンスピン相互作用における主要な異常の明示的表現は何か？それらは既知の結果とどのように一致するか？
• RQ5 このドリフトハミルトニアンアプローチを用いて、近日点移動をLRLベクトルの異常として導出できるか？また、従来の手法よりも効率的か？

主な発見

• ドリフトハミルトニアンは摂動ハミルトニアンの時間平均に一致することが示され、完全な運動方程式を解かずに相対論的補正を経済的に計算する手法を提供する。
• 1PNの近日点移動はLaplace-Runge-Lenz ベクトルの異常として導出され、$\Omega_{\text{1PN}} = \frac{3}{2} \frac{(-2E)^{3/2}}{L^4} \mu \mu_2$ という式が得られる。
• スピン軌道結合に対しては、主要な異常として $\Omega_{\text{SO}} = \frac{3}{2} \frac{(-2E)^{3/2}}{L^4} (\mathbf{S}_1 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \mu \mu_2$ および $\Omega_{\text{SO}} = \frac{3}{2} \frac{(-2E)^{3/2}}{L^4} (\mathbf{S}_2 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \mu \mu_2$ が得られる。
• スピンスピン結合に対しては、異常は $\Omega_{\text{SS}} = \frac{3}{2} \frac{(-2E)^{3/2}}{L^4} \left[ (\mathbf{S}_1 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \mathbf{S}_2 + (\mathbf{S}_2 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \mathbf{S}_1 + \left( (\mathbf{S}_1 \cdot \mathbf{S}_2) - 5(\mathbf{S}_1 \cdot \mathbf{\hat{L}})(\mathbf{S}_2 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \right) \mathbf{\hat{L}} \right]$ として導出される。
• テスト質量極限におけるすべての計算済みの異常は、Barker (1970) が得た既知の結果と一致し、この手法の妥当性が確認された。