[論文レビュー] Leafwise fixed points for $C^0$-small Hamiltonian flows and local coisotropic Floer homology

Fabian Ziltener|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Geometric and Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、閉じたコイズォトロピック部分多様体上で $C^0$-小なハミルトニアンフローに対して、包含写像への $C^1$-近さや部分多様体の正則性や接触型であるという仮定を必要とせずに、葉ごとの固定点の存在を確立する。証明では、最小限の正則性仮定の下でコイズォトロピック構造にフローリング理論的手法を拡張する、独創的な局所コイズォトロピックフローリングホモロジーを導入する。

ABSTRACT

Consider a closed coisotropic submanifold $N$ of a symplectic manifold $(M,\\omega)$ and a Hamiltonian diffeomorphism $\\phi$ on $M$. The main result of this article is that $\\phi$ has a leafwise fixed point w.r.t. $N$, provided that it is the time-1-map of a Hamiltonian flow whose restriction to $N$ stays $C^0$-close to the inclusion $N\ o M$. This appears to be the first leafwise fixed point result in which neither $\\phi|_N$ is assumed to be $C^1$-close to the inclusion $N\ o M$, nor $N$ to be of contact type or regular (i.e., ``fibering''). The method of proof of this result leads to a local coisotropic version of Floer homology.

研究の動機と目的

• 閉じたコイズォトロピック部分多様体に制限された $C^0$-小なフローの時間1写像であるハミルトニアン微分同相写像に対して、葉ごとの固定点の存在を確立すること。
• 従来の研究で一般的に仮定されていた、微分同相写像が部分多様体上での包含写像に $C^1$-近いという条件を排除すること。
• 接触型や正則性（ファイブレーション型）を仮定しないコイズォトロピック部分多様体に対しても、フローリングホモロジー技法を一般化すること。
• $C^0$-小なハミルトニアンフローに適用可能な局所コイズォトロピックフローリングホモロジー理論を構築すること。

提案手法

• 証明は、部分多様体 $N$ に対して $C^0$-小なハミルトニアンフローの下で定義される局所コイズォトロピックフローリングホモロジー不変量の構成に依存する。
• 微分同相写像が包含写像に $C^1$-近いという仮定を回避するため、$N$ 上でのフローの $C^0$-制御を用い、小さな摂動下でも固定点の位相的保存性を活用する。
• 主要な技術的段階として、コイズォトロピック構造を $C^0$-誤差の範囲で保つハミルトニアンパスを用いた適切なチェーン複体の定義を行う。
• コンパクトネスと横断性は $C^0$-正則性を用いて処理し、フローリング理論における継続性議論をコイズォトロピック設定に適応する。
• 得られたホモロジーは $C^0$-小ささの条件下で非自明であることが示され、少なくとも1つの葉ごとの固定点の存在を示唆する。
• 古典的フローリングホモロジーをコイズォトロピック部分多様体へ一般化するため、$N$ の近傍での局所的ダイナミクスに焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体上のハミルトニアン微分同相写像が、閉じたコイズォトロピック部分多様体に関して、葉ごとの固定点を持つための最小限の正則性条件は何か？
• RQ2 微分同相写像が部分多様体上での包含写像に $C^1$-近くない場合でも、葉ごとの固定点の性質を確立できるか？
• RQ3 $C^1$-小ささではなく $C^0$-小ささの仮定の下で、コイズォトロピック部分多様体に対してフローリングホモロジー理論を定義することは可能か？
• RQ4 正則でない、あるいは接触型でもないコイズォトロピック構造に対しても、フローリング理論的手法をどのように適応できるか？
• RQ5 $N$ 上でのフローの $C^0$-制御が固定点の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、$N$ 上での $C^0$-小なハミルトニアンフローの時間1写像である任意のハミルトニアン微分同相写像が、少なくとも1つの葉ごとの固定点を持つことを証明する。
• この結果は、$\phi|_N$ が包含写像 $N \hookrightarrow M$ に $C^1$-近いという要件を必要としない。これは、従来の仮定の大幅な緩和である。
• 部分多様体 $N$ が接触型でない、あるいは正則でない（ファイブレーション型でない）場合でも、葉ごとの固定点の存在が保証される。
• $C^0$-小ささの条件下で非自明な新しい局所コイズォトロピックフローリングホモロジーが構成され、これが証明の鍵となる不変量を提供する。
• 本手法は、古典的状況を越えてコイズォトロピック部分多様体に適応可能な、新たなフローリング理論的枠組みを導入する。
• この結果は、$N$ 上でのフローの $C^0$-小ささが、$N$ に強い幾何的または正則性仮定がなくても、固定点の存在を保証するのに十分であることを示している。