[論文レビュー] Leafwise homotopies and Hilbert-Poincare complexes. I. Regular HP-complexes and leafwise pull-back maps

Moulay-Tahar Benameur, Indrava Roy|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Higson-Roeのヒルベルト・ポアンカーレ（HP）複体形式主義を、正則な非有界作用素と $C^*$-代数のモラータ同値性を含むように拡張することにより、ラミネーションにおける葉ごとのホモトピー不変量の $C^*$-代数的枠組みを確立する。方向付きの葉ごとのホモトピー同値写像によって誘導される、葉ごとのde Rham HP複体上の函手的引き戻し写像を構成し、葉ごとのシグニチャ作用素の明示的経路を提供する。これは、以降の論文で葉ごとのホモトピー不変性を示すために重要な役割を果たす、Cheeger-Gromovのrho不変量の葉ごとのホモトピー不変性の証明に不可欠である。

ABSTRACT

This paper is a first of a series of three papers which study eta invariants for laminations. In this first paper, we extend the results of Higson and Roe to deal with regular (unbounded) operators and more importantly to take into account Morita equivalence of underlying $C^*$-algebras. Given an oriented leafwise map between leafwise oriented laminations on compact spaces, satisfying some natural assumptions, we construct a pull-back morphism between the de Rham HP complexes and prove their expected functoriality. As a byproduct, when two leafwise oriented laminations are leafwise homotopy equivalent, our construction allows to deduce an explicit path joining the leafwise signature operators and hence the famous Large Time Path appearing in the proof of the homotopy invariance of the measured Cheeger-Gromov number.

研究の動機と目的

• ラミネーションにおける葉ごとのホモトピー不変量、特にシグニチャ不変量を研究するための $C^*$-代数的枠組みを構築すること。
• フォリエーションにおける異なる横断に由来する $C^*$-代数の間のモラータ同値性の課題に対処すること。
• Higson-RoeのHP複体形式主義を、正則（非有界）作用素および可算生成モジュールを含むように一般化すること。
• 方向付きの葉ごとのホモトピー同値写像によって誘導される、葉ごとのde Rham HP複体上の明示的引き戻し写像を構成すること。
• 以降の論文で、Cheeger-Gromovのrho不変量の葉ごとのホモトピー不変性を証明するための $C^*$-代数的基盤を築くこと。

提案手法

• Hilbert $C^*$-代数モジュール上の正則非有界作用素を含むように、Higson-RoeのHP複体枠組みを拡張する。
• $C^*$-代数的設定におけるモラータ同値性を扱うために、葉ごとの写像の縮小されたヒルベルト双モジュールを導入する。
• 微分形式の引き戻しとホッジスター作用素との相互作用を通じて、ヒルベルトモジュール上の引き戻し写像を構成する。
• 内積構造とポアンカーレ双対性との整合性を保つために、引き戻し写像の随伴を用いる。
• 随伴作用素の明示的計算を通じて、葉ごとのホモトピー同値写像の下での引き戻し構成の函手性を確立する。
• ホッジスター作用素と引き戻しの逆作用素を用いて、引き戻し写像の随伴を計算し、$T^\prime_g \Psi^\phi_g T_X$ を含む明確な式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラミネーションの文脈において、Higson-RoeのHP複体形式主義を正則非有界作用素を扱えるようにどのように拡張できるか？
• RQ2 基になる $C^*$-代数が同型ではなくモラータ同値である場合に、葉ごとのde Rham複体上の引き戻し写像をどのように定義し、函手的にすることができるか？
• RQ3 ヒルベルトモジュール上の葉ごとの引き戻し写像の随伴の明確な形は何か？ そして、ポアンカーレ双対性とどのように関係するか？
• RQ4 葉ごとのホモトピー同値写像から、葉ごとのシグニチャ作用素の明示的経路をどのように構成できるか？
• RQ5 ホッジスター作用素と逆引き戻しは、葉ごとの引き戻し写像の随伴を計算する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、ラミネーション間の方向付きの葉ごとの写像によって誘導される、葉ごとのde Rham HP複体間の整合的な引き戻し準同型を構成する。
• 引き戻し写像は、モラータ同値性の下で函手的であることが示され、HP複体の構造を保存する。
• 引き戻し写像の随伴は明示的に $(-1)^{k(p-k)}T^\prime_g \Psi^\phi_g T_X$ として計算され、ホッジスター作用素と逆引き戻しを含む。
• 引き戻し写像はポアンカーレ双対性構造を保存し、$K_1$におけるシグニチャ類との整合性を保証する。
• 葉ごとのホモトピー同値写像の下で、葉ごとのシグニチャ作用素の間の明示的経路が得られ、rho不変量のホモトピー不変性を示すための重要なステップが達成される。
• この枠組みは、以降の論文で、 Baum-Connes予想の下で測度付きCheeger-Gromov rho不変量が葉ごとの向き付きホモトピー不変量であることを証明する基盤を提供する。