[論文レビュー] Leafwise Symplectic Structures on Lawson's Foliation (3rd revised)

Yoshihiko Mitsumatsu|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、5次元球面 $S^5$ 上の Lawson の codimension-one フォリエーションが、その葉を成すフェルマー型の立方曲面に端周期的シンプレクティック構造を構成することにより、滑らかな葉方向シンプレクティック構造を有することを確立する。主な貢献は、自然に放物型で非周期的であるが、その端が Kodaira-Thurston の nil 多様体の周期的被覆と微分同相であるようなこれらのアフィン曲面が、その被覆の周期的構造に漸近的に一致するシンプレクティック形式を備えることができることを示したことである。これにより、フォリエーション全体に全域的な葉方向シンプレクティック構造が得られ、$S^5$ 上にシンプレクティック次元 4 の正則ポアソン構造が存在することを示唆する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to show that Lawson's foliation on the 5-sphere admits a smooth leafwise symplectic structure. The main part of the construction is to show that the Fermat type cubic surface admits an end-periodic symplectic structure.

研究の動機と目的

• Lawson の $S^5$ 上の codimension-one フォリエーションに滑らかな葉方向シンプレクティック構造が存在することを確立すること。
• フェルマー型の立方曲面に自然に備わるシンプレクティック構造が、その端部で放物型かつ非周期的であるのに対し、その端が Kodaira-Thurston の nil 多様体の周期的被覆と微分同相であるという位相的障害を克服すること。
• フェルマー型の立方曲面に、その端部における周期的シンプレクティック構造に一致するシンプレクティック構造を構成し、フォリエーション全体に全域的な葉方向シンプレクティック構造を可能にすること。
• 3変数の複素数における単純な楕円的特異点 $ ilde{E}_6$, $ ilde{E}_7$, $ ilde{E}_8$ の3つのクラスに付随するミルナーのファイブレーションへこの結果を一般化すること。
• $S^5$ がシンプレクティック次元 4 の正則ポアソン構造を有することを示すこと。これはフォリエーション上の葉方向シンプレクティック構造に対応する。

提案手法

• フェルマー型の立方曲面に自然に備わるシンプレクティック構造を、アフィン複素曲面として分析することにより出発する。この構造は放物型で拡張的であり、端部の周期的構造とは不適合である。
• フェルマー型の立方曲面におけるシンプレクティック形式を変更することで、端部における Kodaira-Thurston の nil 多様体の被覆上の周期的シンプレクティック構造に漸近的に一致する端周期的シンプレクティック構造を構成する。
• Lawson のフォリエーションのチューブ部成分（3次元の nil 多様体のチューブ近傍）が、Kodaira-Thurston の nil 多様体およびその被覆上の適切なシンプレクティック形式の選択により、葉方向シンプレクティック構造を有することを示す。
• フェルマー型の立方曲面とチューブ部成分の共通境界（Kodaira-Thurston の nil 多様体）におけるシンプレクティック形式の整合性を確立し、構造を貼り合わせてフォリエーション全体に全域的な葉方向シンプレクティック構造を構成する。
• グローバルに凸なシンプレクティック多様体の理論や、ファイブレーションにおけるモノドロミーの解析を用いたシンプレクティック位相の技術を用いて、このような端周期的構造の存在を保証する。
• 位相的およびシンプレクティック的性質が類似していることから、$ ilde{E}_7$ および $ ilde{E}_8$ の2つの他のクラスに対しても、同様の構成がそのまま適用可能であることが示され、議論が拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルマー型の立方曲面は、自然に放物型のシンプレクティック構造を備えているが、その端部（Kodaira-Thurston の nil 多様体の被覆）における周期的シンプレクティック構造に一致するシンプレクティック構造を備えることができるか？
• RQ2 チューブ部成分とフェルマー型の立方曲面の葉の境界でシンプレクティック構造が一致する必要があるにもかかわらず、Lawson の $S^5$ 上の codimension-one フォリエーションが滑らかな葉方向シンプレクティック構造を有するか？
• RQ3 ミルナーのファイブレーションに付随する $ ilde{E}_7$ および $ ilde{E}_8$ 特異点の2つの他のクラスに対しても、Lawson のフォリエーションにおける葉方向シンプレクティック構造の構成を一般化できるか？
• RQ4 $S^5$ 上に葉方向シンプレクティック構造が存在することは、シンプレクティック次元 4 の正則ポアソン構造が存在することを示唆するか？
• RQ5 フェルマー型の立方曲面や solv 多様体（例：$ imes ext{Solv}$、ここで Solv は3次元の solv 多様体）を除き、他のコンパクトな4次元または3次元多様体が、このようなフォリエーションと整合する端周期的シンプレクティック構造を有するか？

主な発見

• フェルマー型の立方曲面は端周期的シンプレクティック構造を有し、自然なシンプレクティック形式が無限遠で放物型かつ非周期的であるという主要な障害を解消する。
• Lawson の $S^5$ 上のフォリエーションは滑らかな葉方向シンプレクティック構造を有する。これは、フェルマー型の立方曲面の葉とチューブ部成分の境界で、端周期的構造を介してシンプレクティック形式が整合可能であるためである。
• $ ilde{E}_6$ 特異点（Lawson の場合）に付随するミルナーのファイブレーションは、$S^5$ 上の codimension-one の葉方向シンプレクティックフォリエーションに変形可能である。
• 同様に、$ ilde{E}_7$ および $ ilde{E}_8$ 特異点に付随するミルナーのファイブレーションに対しても、同様の葉方向シンプレクティック構造が存在し、$ ilde{E}_6$ の場合に限らない一般化が達成される。
• 5次元球面 $S^5$ はシンプレクティック次元 4 の正則ポアソン構造を有する。これはフォリエーション上の葉方向シンプレクティック構造に対応する。
• 端周期的シンプレクティック構造を有するその他の多様体の例は限定的である。フェルマー型の立方曲面および solv 多様体（例：$ imes ext{Solv}$）のみが、このような構造を支持することが知られている。本稿の構成は、高次元の曲面や Brieskorn のカスプ特異点には拡張できない。その理由は、非ファイブレーション的モノドロミーが生じるためである。