[論文レビュー] Learnability and Complexity of Quantum Samples

Murphy Yuezhen Niu, Andrew M. Dai+6 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2020

Machine Learning and Algorithms参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、古典的生成モデルが深さのあるランダム量子回路の出力分布を効率的に学習できるかを調査し、特にLSTMを含む自己回帰構造を持つモデルが優れた性能を示すことを明らかにした。学習の複雑さはキュービット数とともに指数関数的に増加することが示され、複雑な量子分布の効率的古典的学習には根本的な障壁があることが示唆された。

ABSTRACT

Given a quantum circuit, a quantum computer can sample the output distribution exponentially faster in the number of bits than classical computers. A similar exponential separation has yet to be established in generative models through quantum sample learning: given samples from an n-qubit computation, can we learn the underlying quantum distribution using models with training parameters that scale polynomial in n under a fixed training time? We study four kinds of generative models: Deep Boltzmann machine (DBM), Generative Adversarial Networks (GANs), Long Short-Term Memory (LSTM) and Autoregressive GAN, on learning quantum data set generated by deep random circuits. We demonstrate the leading performance of LSTM in learning quantum samples, and thus the autoregressive structure present in the underlying quantum distribution from random quantum circuits. Both numerical experiments and a theoretical proof in the case of the DBM show exponentially growing complexity of learning-agent parameters required for achieving a fixed accuracy as n increases. Finally, we establish a connection between learnability and the complexity of generative models by benchmarking learnability against different sets of samples drawn from probability distributions of variable degrees of complexities in their quantum and classical representations.

研究の動機と目的

• キュービット数の増加に伴い、パラメータ数が多項式的に増加する古典的生成モデルが、量子出力分布を学習できるかどうかを明らかにすること。
• 量子分布の複雑さと古典的モデルによる学習可能性の関係を調査すること。
• 深さのあるランダム回路からの量子データに対して、DBM、GAN、LSTM、SeqGANの異なる生成モデルをベンチマークすること。
• 量子分布の構造（例：自己回帰的 vs. 非自己回帰的）が学習効率に与える影響を分析すること。
• 学習可能性と、量子および古典的分布表現の両方の複雑さとの間の関係を確立すること。

提案手法

• 深さのあるランダム量子回路から得たサンプルを、キュービット数を変化させながら、4つの生成モデル（DBM、GAN、LSTM、SeqGAN）で訓練した。
• LSTMおよびSeqGANには最尤推定を、GANにはミニマックス敵対的訓練を用いた。
• 実際のサンプルと生成されたサンプルの分布類似度を評価するために、忠実度とカイ二乗検定（χ² test）を評価指標として採用した。
• テンソルネットワーク風のアルゴリズムを用いて、量子回路の古典的シミュレーションを行い、振幅を効率的に計算した。
• 回路の深さとキュービット数を用いて複雑さを定義・分析し、量子的および古典的分布表現の複雑さを比較した。
• 分布の忠実度を検証するためにカイ二乗検定を適用し、形状の不一致を検出する上で、忠実度のみに依存するよりも堅牢であることを指摘した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的生成モデルは、キュービット数に対して多項式的に増加するパラメータ数のみを用いて、深さのあるランダム量子回路の出力分布を学習できるか？
• RQ2 生成モデルに自己回帰構造がある場合、内在する逐次的依存性を持つ量子分布を学習する能力にどのような影響を与えるか？
• RQ3 量子回路の複雑さ（例：深さ、キュービット数）と、正確な学習に必要なモデル容量の関係は何か？
• RQ4 評価指標としての忠実度とカイ二乗検定（χ² test）は、学習済みモデルにおける分布的乖離を検出する点でどのように異なるか？
• RQ5 古典的表現における量子分布の複雑さは、その量子同等物の学習可能性の観点から、どの程度その複雑さを反映しているか？

主な発見

• LSTMは、深さのあるランダム回路からの量子サンプルを学習する際、28キュービットでも高い忠実度を達成し、カイ二乗検定（χ² test）に合格するなど、他のすべてのモデルを上回った性能を示した。
• 固定された精度を達成するためのモデルサイズがキュービット数の増加に伴い指数関数的に増加したため、古典的学習エージェントには指数的複雑さの障壁があることが示された。
• 従来のGANとDBMは、キュービット数が小さい範囲を越えると、長時間の訓練を経ても深さのあるランダム回路の出力を学習できなかった。
• カイ二乗検定（χ² test）は、忠実度がほぼ1に近い状態でも顕著な分布的乖離を明らかにしたため、忠実度のみでは信頼できる評価ができないことが示された。
• サブセットパリティを再順序付けたポーター＝トーマス分布に対しては、LSTMは200エポック以内に忠実度をほぼ1に達成したが、16キュービットではカイ二乗検定（χ² test）に合格するまでに1000エポック以上を要した。
• ランダムに順序付けられたポーター＝トーマス分布は、長時間の訓練を経てもLSTMによってほとんど学習できず、忠実度はほぼゼロに留まった。これは、自己回帰性のような構造的特徴の重要性を強調している。