[論文レビュー] Learning Feynman Diagrams with Tensor Trains

Y. Núñez-Fernández, Matthieu Jeannin+5 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2022

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、テンソルトレインに基づく手法を用い、テンソルクロス補間（TCI）を活用して、量子多体系における高次フェยマン図の展開を、類を見ない精度と高速性で計算することを提案する。すべての図の和を圧縮されたテンソルトレインとして表現することで、時間発展の非平衡状態における高次元で振動する積分を効率的に評価可能となり、図式的量子モンテカルロ法よりも精度と収束速度で桁違いに優れる（収束速度は1/N²以上）。

ABSTRACT

We use tensor network techniques to obtain high order perturbative diagrammatic expansions for the quantum many-body problem at very high precision. The approach is based on a tensor train parsimonious representation of the sum of all Feynman diagrams, obtained in a controlled and accurate way with the tensor cross interpolation algorithm. It yields the full time evolution of physical quantities in the presence of any arbitrary time dependent interaction. Our benchmarks on the Anderson quantum impurity problem, within the real time non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalism, demonstrate that this technique supersedes diagrammatic Quantum Monte Carlo by orders of magnitude in precision and speed, with convergence rates $1/N^2$ or faster, where N is the number of function evaluations. The method also works in parameter regimes characterized by strongly oscillatory integrals in high dimension, which suffer from a catastrophic sign problem in Quantum Monte-Carlo. Finally, we also present two exploratory studies showing that the technique generalizes to more complex situations: a double quantum dot and a single impurity embedded in a two dimensional lattice.

研究の動機と目的

• 時間発展の非平衡量子系に共通する高次元で振動する積分において、図式的量子モンテカルロ法の符号問題と遅い収束を克服すること。
• 量子多体理論における高次摂動展開を計算するための確率的サンプリングの代替として、決定的かつ高精度な手法を開発すること。
• 任意の時間依存相互作用が存在する状況でも、時間に依存する物理量を正確に計算可能とする、効率的なテンソルネットワーク表現を提供すること。
• 従来のモンテカルロ法が失敗する強相関的・振動的領域において、本手法の有効性を示すこと。
• バリエーション的波動関数近似にとどまらないテンソルネットワーク技術の適用範囲を、場の理論における図式和の直接表現へと拡張すること。

提案手法

• 本手法は、すべてのフェイマン図の和を低ランクのテンソルトレイン（TT）表現として構築するため、テンソルクロス補間（TCI）を用いる。これにより、高次元積分の効率的計算が可能になる。
• TT形式により、時間変数に関するn次元積分が一連の一次元積分に分解され、計算複雑度が著しく低減される。
• 非相互作用グリーン関数の構造を活用し、$\tilde{q}_n(\omega)$ のような主要な成分を事前に計算・補間し、異なる時間評価において再利用する。
• 高次元における急激に振動する積分に対しては、$v > v_{\text{cut}}$ の形で漸近展開 $T_\alpha(v) \approx \sum_{p,n} \left( a_{pn} \frac{\cos(4pv)}{v^n} + b_{pn} \frac{\sin(4pv)}{v^n} \right)$ を用いた特殊な数値積分則が開発された。
• 標準的なガウス＝ルジャンドル積分則を $[0, v_{\text{cut}}]$ に適用し、$[v_{\text{cut}}, \infty)$ の振動的尾部にはピボット付きクロス補間に基づくカスタムノード積分則を組み合わせることで、安定性と精度を確保したハイブリッド積分則が構築された。
• 主値積分および振動的積分は、適応的積分則と特殊関数（例：$E_n(z)$）を扱う専用ライブラリを用いて計算され、数値的安定性が確保された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソルネットワーク技法、特にTCIによるテンソルトレインを用いて、図式的量子モンテカルロ法よりも高精度かつ高速収束で高次フェイマン図展開を計算できるか？
• RQ2 符号問題がモンテカルロ法を困難にする強振動的積分領域において、本手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ3 テンソルトレイン表現は、時間発展の非平衡量子多体問題に生じる高次元でマルチスケールな積分の構造を効果的に捉えられるか？
• RQ4 二重量子ドットや二次元格子内の単一インポジションといったより複雑な系へ、本手法をどの程度一般化できるか？
• RQ5 関数評価回数の観点から、本手法の収束特性は何か？また、$1/\sqrt{N}$ よりも速いスケーリングを達成するか？

主な発見

• 本手法は、関数評価回数 $N$ に対して $1/N^2$ 以上の収束速度を達成し、図式的量子モンテカルロ法の $1/\sqrt{N}$ スケーリングを著しく上回る。
• 符号問題により図式的モンテカルロ法が失敗する強振動的積分領域においても、本手法が物理量の計算に成功した。
• 実時間シュヴィンガー＝ケルディッシュ形式におけるアンダーソン量子インポジションモデルに対するベンチマークでは、精度と速度の両面で図式的量子モンテカルロ法を桁違いに上回った。
• テンソルトレイン表現により、$\tilde{q}_n(\omega)$ のような中間関数を事前計算可能となり、任意の時間 $t$ に対して、1次元積分1回で全時間発展 $Q_n(t)$ を効率的に評価可能となった。
• 二次元格子の場合には、$T_\alpha(v)$ の漸近展開に基づくカスタム積分則を採用し、わずか78個の積分ノードで2〜3桁の精度を達成した。
• ピボット付きクロス補間によるノード選択により、極めて振動的で減衰が遅い関数に対しても、数値的安定性が保証された。