[論文レビュー] Learning Latent Factors From Diversified Projections and Its Applications to Over-Estimated and Weak Factors

Jianqing Fan, Yuan Liao|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2019

Spatial and Panel Data Analysis参考文献 51被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、多様化されたクロスセクショナルプロジェクションを用いた頑健な要因推定手法を提案する。この手法により、要因数が過剰に推定されたり、サンプルサイズが小さかったり、系列依存性が強い場合でも、潜在的要因を一貫して推定可能である。パネルデータを事前に指定された多様化された重みへと射影することで、固有ベクトルに依存せず、弱い条件下でも因子負荷および共分散構造の一致推定を保証する。

ABSTRACT

Estimations and applications of factor models often rely on the crucial condition that the number of latent factors is consistently estimated, which in turn also requires that factors be relatively strong, data are stationary and weakly serially dependent, and the sample size be fairly large, although in practical applications, one or several of these conditions may fail. In these cases, it is difficult to analyze the eigenvectors of the data matrix. To address this issue, we propose simple estimators of the latent factors using cross-sectional projections of the panel data, by weighted averages with predetermined weights. These weights are chosen to diversify away the idiosyncratic components, resulting in “diversified factors.” Because the projections are conducted cross-sectionally, they are robust to serial conditions, easy to analyze and work even for finite length of time series. We formally prove that this procedure is robust to over-estimating the number of factors, and illustrate it in several applications, including post-selection inference, big data forecasts, large covariance estimation, and factor specification tests. We also recommend several choices for the diversified weights. Supplementary materials for this article are available online.

研究の動機と目的

• 要因数が過剰に推定されたり、時系列が短く系列依存性が強い場合に生じる因子推定の不一致の課題に対処すること。
• 固有ベクトルに依存する伝統的な主成分推定器が、信号対雑音比が弱いか非定常な場合に失敗することの限界を克服すること。
• 真の要因数の数が過小推定されたり、共通要因が存在しない場合でも有効である手法を開発すること。
• 因子次元のモデルミススぺシフィケーションが生じても、因子拡張モデルにおける信頼性のある推論を可能にすること。
• 高次元因子モデルにおける固有ベクトルに基づく推定器の理論的裏付けが明確で、計算が単純な代替手法を提供すること。

提案手法

• 多様化された重み $\mathbf{W}$ を用いた新しい因子推定器 $\widehat{\mathbf{f}}_t = \frac{1}{N} \mathbf{W}' \mathbf{x}_t$ を定義する。ここで $\mathbf{W}$ は $N \times R$ の決定的行列である。
• クロスセクショナルプロジェクションを用いて、平均化によって個別成分を除去し、推定誤差 $\mathbf{e}_t = \frac{1}{N} \mathbf{W}' \mathbf{u}_t$ が $N \to \infty$ の際に確率的に消えることを保証する。
• 重み行列 $\mathbf{W}$ が因子構造を保持することを保証するため、$\text{rank}(\frac{1}{N} \mathbf{W}' \mathbf{B}) = r$ かつ特異値が有界であることを要件とする。
• 分解 $\widehat{\mathbf{f}}_t = (\frac{1}{N} \mathbf{W}' \mathbf{B}) \mathbf{f}_t + \mathbf{e}_t$ を用いて理論的整合性を確立し、因子空間が一貫して推定されることを示す。
• 因子数 $R \geq r$ の過剰推定に対しても頑健であることを証明し、$R > r$ の場合でも推定が一貫的かつ推論に有効であることを示す。
• 複数の設定に応用：選択後推論、ビッグデータ予測、大規模共分散推定、因子仕様検定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 信号対雑音比が弱い状況下でも、要因数が過剰に推定された場合に因子推定が一貫性を保てるか？
• RQ2 従来の主成分法が失敗する短い時系列および強い系列依存性の下で、どのように因子推定を頑健化できるか？
• RQ3 重み行列 $\mathbf{W}$ にどのような条件を課すと、因子構造が保持されるとともに個別雑音が多様化されて除去されるか？
• RQ4 共通因子が存在しない場合でも、推定された因子が抽出されている限り、因子拡張モデルにおける有効な統計的推論が可能か？
• RQ5 弱い成分または非定常成分を含む高次元パネルデータにおいて、提案されたプロジェクションベース推定器が固有ベクトルベース手法を上回るか、あるいは置き換えることができるか？

主な発見

• 提案された多様化因子推定器 $\widehat{\mathbf{f}}_t = \frac{1}{N} \mathbf{W}' \mathbf{x}_t$ は、重みが多様化されており因子構造が保持されている限り、$R > r$ の場合でも真の因子空間を一貫して推定する。
• 推定誤差 $\mathbf{e}_t = \frac{1}{N} \mathbf{W}' \mathbf{u}_t$ は $N \to \infty$ の際に確率的にゼロに収束し、個別雑音に対して頑健であることを保証する。
• 因子数の過剰推定に対しても頑健である：$r = 0$ でも $R \geq 1$ の場合に有効な推論が成立し、「保険的」な因子抽出が可能である。
• 固有ベクトルに依存しないため、系列依存性に対して頑健であり、$T$ が有限であっても適用可能である。
• 理論的境界により、$\| \frac{1}{N} \mathbf{W}' (\widehat{\boldsymbol{\Sigma}}_u - \boldsymbol{\Sigma}_u) \mathbf{W} \| = O_P(\frac{g_{NT}^2}{N^2 \nu_{\min}^2}) \sum_{\sigma_{u,ij} \neq 0} 1 + O_P(\frac{1}{N \sqrt{NT} \nu_{\min}^3})$ が得られ、共分散推定の一貫性を保証する。
• $\widehat{\sigma}^2$ は確率的に真の分散 $\sigma^2$ に収束し、提案フレームワーク下での誤差分散の推定の一貫性を確認する。