[論文レビュー] Learning Low-Degree Quantum Objects

Srinivasan Arunachalam, Arkopal Dutt+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、n-qubit量子チャネル、ユニタリ、およびdクエリ量子アルゴリズムに由来する低次の量子多項式を学習するための情報理論的クエリ複雑度の上限を確立する。これは、量子設定に特化した新しいボーハンブルスト＝ヒル（BH）不等式を用いて達成された。本稿では、次数dの量子オブジェクトがnに依存しないO(1/ε^d)のクエリで学習可能であることを証明しており、また、有界な多重線形多項式の古典的学習にはO((1/ε)^d log n)のランダムサンプルが必要であり、εおよびdに最適な依存関係を達成している。これは、定数1の完全有界BH不等式を用いて実現された。

ABSTRACT

We consider the problem of learning low-degree quantum objects up to $\varepsilon$-error in $\ell_2$-distance. We show the following results: $(i)$ unknown $n$-qubit degree-$d$ (in the Pauli basis) quantum channels and unitaries can be learned using $O(1/\varepsilon^d)$ queries (independent of $n$), $(ii)$ polynomials $p:\{-1,1\}^n ightarrow [-1,1]$ arising from $d$-query quantum algorithms can be classically learned from $O((1/\varepsilon)^d\cdot \log n)$ many random examples $(x,p(x))$ (which implies learnability even for $d=O(\log n)$), and $(iii)$ degree-$d$ polynomials $p:\{-1,1\}^n o [-1,1]$ can be learned through $O(1/\varepsilon^d)$ queries to a quantum unitary $U_p$ that block-encodes $p$. Our main technical contributions are new Bohnenblust-Hille inequalities for quantum channels and completely bounded~polynomials.

研究の動機と目的

• 低次の量子オブジェクトがnの多項式的または多対数的クエリ複雑度で学習可能かどうかという根本的な問いに答えること。
• 量子演算子およびテンソルのための非可換的および完全有界なボーハンブルスト＝ヒル不等式の新規な変種を考案すること。
• dクエリ量子アルゴリズムに由来する量子チャネル、ユニタリ、多項式の学習に関する、タイトな情報理論的境界を確立すること。
• 完全有界BH不等式における定数の正確な値を特定し、それが正確に1であることを示すこと。これにより、量子学習理論における既存の境界が鋭く改善される。

提案手法

• 量子チャネルに対する非可換BH不等式を導出し、次数dのチャネルのパウリ係数が、S1 → S∞ノルムにおいて∑|bΦ(x,y)|^{2d/(d+1)} ≤ Cを満たし、C = 1であることを示した。
• 完全有界なd重線形形式のためのBH不等式の変種を導入し、‖bT‖_{2d/(d+1)} ≤ ‖T‖_{cb}が成り立ち、等号が達成可能であることを証明した。これにより、定数1が鋭いものであることが確立された。
• Bleiの不等式と、完全有界ノルムに関する新しい下界（補題21）を用いて、完全有界BH不等式における定数の鋭さを証明した。
• 新規に導入したBH不等式を適用し、dクエリ量子アルゴリズムが完全有界テンソルを生成することを示し、これによりランダム例からの効率的な古典的学習が可能であることを示した。
• 次数dの多項式をブロックエンコーディングとして含むユニタリに量子クエリアクセスを提供することで、O(1/ε^d)のクエリでそれらを学習可能であることを示した。
• 新規BH不等式を用いて、{−1,1}^n 上の有界な多重線形多項式の古典的学習におけるサンプル複雑度の境界を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n-qubit量子チャネルおよび次数dのユニタリは、nに依存せず1/εの多項式的クエリ複雑度で学習可能か？
• RQ2 完全有界BH不等式におけるd重線形形式の最適な定数は何か？ そして、それを正確に特定できるか？
• RQ3 {−1,1}^n 上の有界な次数dの多重線形多項式は、d = O(log n)であっても、dおよびεにのみ依存するサンプル複雑度で古典的に学習可能か？
• RQ4 量子チャネルおよびスーパーオペレーターに対する非可換BH不等式は、古典的およびグロテンディック型の不等式とどのように比較できるか？
• RQ5 次数dの多項式のブロックエンコーディングへの量子クエリアクセスは、O(1/ε^d)のクエリで効率的な学習を可能にするか？

主な発見

• 完全有界ボーハンブルスト＝ヒル不等式の定数は、正確に1であり、これは以前のpoly(d)の上界と比べて鋭い改善である。
• nに依存しないO(1/ε^d)のクエリで、未知のn-qubit量子チャネルおよび次数dのユニタリをℓ²誤差εで学習可能である。
• 次数dの多重線形多項式f : {−1,1}^n → [−1,1]は、高確率でO((1/ε)^d log n)のランダムサンプル(x,f(x))から古典的に学習可能である。
• ユニタリU_pにブロックエンコーディングされた多項式は、U_pへのO(1/ε^d)の量子クエリで学習可能である。
• 新規に導入した量子チャネル用BH不等式により、パウリ係数が∑|bΦ(x,y)|^{2d/(d+1)} ≤ 1を満たすことが示され、以前のexp(d)の境界を改善した。
• この結果により、学習の複雑度がdおよびεにのみ依存し、nには依存しないことが示され、低次の量子オブジェクトのための効率的学習が可能であるという主な問いに肯定的な答えが得られた。