[論文レビュー] Learning Poisson systems and trajectories of autonomous systems via Poisson neural networks

Pengzhan Jin, Zhen Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2020

Computational Physics and Python Applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ダーブルクス＝ライの定理を活用して、力学的系のポアソン系およびその軌道を学習する物理的制約付きディープラーニングフレームワーク、ポissonニューラルネットワーク（PNNs）を提案する。PNNsは位相空間の流れを座標変換、シンプレクティック写像、および逆変換に分解し、幾何構造の保存を保証する物理的事前知識を組み込んだ構造化ニューラルネットワークを用いる。これにより、電磁場中での粒子運動、非線形シュレーディンガー方程式のダイナミクス、ピクセルデータからの2体問題など、複雑な系の学習において高い精度を達成する。

ABSTRACT

We propose the Poisson neural networks (PNNs) to learn Poisson systems and trajectories of autonomous systems from data. Based on the Darboux-Lie theorem, the phase flow of a Poisson system can be written as the composition of (1) a coordinate transformation, (2) an extended symplectic map and (3) the inverse of the transformation. In this work, we extend this result to the unknotted trajectories of autonomous systems. We employ structured neural networks with physical priors to approximate the three aforementioned maps. We demonstrate through several simulations that PNNs are capable of handling very accurately several challenging tasks, including the motion of a particle in the electromagnetic potential, the nonlinear Schr{ö}dinger equation, and pixel observations of the two-body problem.

研究の動機と目的

• データから元のダイナミクスが正準形式でない場合でも、ポアソン系とその軌道を学習できるニューラルネットワークアーキテクチャの開発を目的とする。
• ハミルトニアン系に限らない一般のポアソン系、特に非正準および制約付き力学系を含む、シンプレクティック構造を保存する学習フレームワークを拡張することを目的とする。
• ダーブルクス＝ライの定理を活用して、ポアソン系の位相空間流れを座標変換、シンプレクティック写像、および逆変換に分解し、構造化された学習を可能にする。
• シンプレクティック性や可逆性といった物理的事前知識をネットワーク構造に組み込むことで、一般化性能と精度を向上させるニューラルネットワークアーキテクチャの設計を目的とする。
• 特に高次元観測（例：ピクセルデータ）や非正準座標を含む挑戦的な問題に対して、手法の有効性を示すこと。

提案手法

• PNNsは、ポアソン系の位相空間流れを3つの成分に分解する：正準形式への座標変換、正準座標におけるシンプレクティック写像、元の座標への逆変換。
• 座標変換は、可逆性と微分可能性を保証するため、体積保存型（NICE）および非体積保存型（real NVP）を含む可逆ニューラルネットワーク（INNs）でモデル化される。
• シンプレクティック写像は、変換されたハミルトニアン系のシンプレクティック構造を保存する特殊なシンプレクティックモジュールから構成される拡張型シンプレクティックニューラルネットワーク（E-SympNets）で実装される。
• 低次元多様体の場合、自己符号化器（autoencoders）を用いて、高次元データから次元2dの潜在空間への座標変換を学習し、その空間で系がハミルトニアン的になるようにする。
• 全アーキテクチャは、データ適合性と構造保存性を強制する損失関数を用いてエンドツーエンドで訓練され、幾何的性質を維持するための物理的制約付き正則化が適用される。
• 本手法はダーブルクス＝ライの定理に裏付けられており、任意のポアソン系が局所的にハミルトニアン系に変換可能な座標変換が存在することを保証する。これにより、シンプレクティック積分法やシンプレクティックニューラルネットワークの利用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のポアソン系の位相空間流れを、正準座標にない場合でもデータから深層ニューラルネットワークアーキテクチャが学習可能か？
• RQ2 特にシンプレクティック性と微分同相構造といった物理的事前知識を、動的系の学習精度と一般化性能を向上させるためにニューラルネットワークにどのように埋め込むことができるか？
• RQ3 PNNsは、ピクセルデータとしての2体系の観測から、軌道やダイナミクスをどの程度正確に再構築できるか？
• RQ4 非正準ポアソン括弧を有する系、例えば非線形シュレーディンガー方程式や電磁場中での荷電粒子運動などに対しても、フレームワークは対応可能か？
• RQ5 位相空間流れを座標変換、シンプレクティック写像、逆変換に分解することで、標準的なニューラルODEやHNNと比較して、学習の安定性と精度がどのように向上するか？

主な発見

• PNNsは、電磁ポテンシャル中を運動する粒子の運動を正確に学習し、元のポアソン構造を保存する軌道を再構築した。
• 本手法は、複雑で非正準なダイナミクスを有する非線形シュレーディンガー方程式のデータからも高い精度で学習を達成した。
• PNNsは、ピクセル観測からの2体問題のダイナミクスを再構築でき、高次元で画像ベースの入力データに対しても高い頑健性を示した。
• 座標変換に可逆ニューラルネットワークを用いることで、高次元データから正準ハミルトニアン枠組みへの有効な次元削減と構造保存写像が可能になった。
• E-SympNetsをシンプレクティック写像に統合することで、学習されたダイナミクスがシンプレクティック構造を保存することが保証され、長期的な安定性と精度に不可欠であることが示された。
• 特にデータが正準座標にない場合に、非正準ポアソン括弧を有する系の学習において、標準的なニューラルODEやHNNを上回る性能を発揮した。