[論文レビュー] Learning quantum processes without input control

Marco Fanizza, Yihui Quek+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、入力分布の制御を必要としない古典的入力から量子出力を生成する量子プロセスのための統計的学習理論を導入する。シャドウトモグラフィーと一様収束保証を備えた仮説選択を適応することで、無限大の概念クラスに対しても有限標本学習アルゴリズムを提供し、入力が制御不能で各入力に対して1つのコピーしか入手できないような天体物理学的・生物学的システムのような設定において、量子プロセスの効率的学習のための条件を確立する。

ABSTRACT

We introduce a general statistical learning theory for processes that take as input a classical random variable and output a quantum state. Our setting is motivated by the practical situation in which one desires to learn a quantum process governed by classical parameters that are out of one's control. This framework is applicable, for example, to the study of astronomical phenomena, disordered systems and biological processes not controlled by the observer. We provide an algorithm for learning with high probability in this setting with a finite amount of samples, even if the concept class is infinite. To do this, we review and adapt existing algorithms for shadow tomography and hypothesis selection, and combine their guarantees with the uniform convergence on the data of the loss functions of interest. As a by-product we obtain sufficient conditions for performing shadow tomography of classical-quantum states with a number of copies which depends on the dimension of the quantum register, but not on the dimension of the classical one. We give concrete examples of processes that can be learned in this manner, based on quantum circuits or physically motivated classes, such as systems governed by Hamiltonians with random perturbations or data-dependent phase-shifts.

研究の動機と目的

• 入力が制御不能で、未知の分布からサンプリングされる状況において、古典的入力を量子出力に写像する量子プロセスのための統計的学習枠組みを構築すること。
• 従来の研究が制御された入力で準備された量子状態の同一コピーを必要としているという制限を克服し、各入力に対して同一でない1つのコピーからの学習を可能にすること。
• 真のプロセスが仮説クラスに含まれない可能性があるアグノスティック設定においても、無限大の概念クラスの量子プロセスに対する有限標本学習保証を確立すること。
• 古典的量子状態のシャドウトモグラフィーのための十分条件を提示し、古典レジスタの次元に依存しないコピーコストを実現すること。
• 量子回路、ランダムハミルトニアンの摂動、およびデータ依存の位相シフトを含む具体例を通じて、実用的適用性を示すこと。

提案手法

• 制御不能な古典的入力を想定した設定において、仮説選択とシャドウトモグラフィーの枠組みを適応し、量子出力上のデータ依存損失関数を用いる。
• 入力サンプルにおける出力状態のL1ノルムに基づく、量子プロセスの概念クラス上の擬距離を導入し、一様収束解析を可能にする。
• 量子系の次元に依存するが、古典的入力次元に依存しない、概念クラスのカバー数を定義し、有限標本学習を可能にする。
• データ上での損失関数の一様収束を用いて一般化誤差をバインドし、有限標本で高確率で学習が成立することを保証する。
• 作用素ノルム近似と摂動バウンド（例：Dynkinの公式を用いて）を用いて、パラメータの微小変化における量子プロセス間の距離を制御する。
• ユニタリ時間発展状態や摂動ハミルトニアンの低エネルギー部分空間への射影といった特定クラスに対して、作用素ノルム不等式とスペクトル摂動理論を用いて明示的なカバー数バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力が学習者に制御されず、各出力状態に対して1つのコピーしか入手できない状況で、量子プロセスを学習することは可能か？
• RQ2 真のプロセスが仮説クラスに含まれない可能性があるアグノスティック設定において、無限大の量子プロセスクラスに対する有限標本学習を保証する条件は何か？
• RQ3 古典レジスタの次元が無限大である古典的量子状態に対して、シャドウトモグラフィーを適用できるか？その場合の条件は何か？
• RQ4 入力制御がない状況において、量子プロセスクラスのカバー数をどのようにバインドできるか？そのサンプル複雑度は何かによって決定されるか？
• RQ5 ランダムまたはデータ依存のハミルトニアンによるユニタリ発展演算子を含むプロセスを学習するためのサンプル複雑度の上限は何か？

主な発見

• 本稿は、データ上での損失関数の一様収束の十分条件を確立し、無限大の概念クラスと入力制御なしの状況でも、高確率での量子プロセス学習を可能にする。
• 有限標本学習アルゴリズムが構築され、高確率で成功する。そのサンプル複雑度は量子系の次元にのみ依存し、古典的入力次元には依存しない。
• 有界ハミルトニアン下でのユニタリ時間発展演算子によって定義されるプロセスクラスに対して、カバー数は系の次元d、ハミルトニアンノルムの上限B、入力関数の変動bの関数としてバインド可能である。
• 摂動ハミルトニアンの低エネルギー部分空間への射影のクラスに対して、カバー数のバウンドはd²のオーダーであり、摂動の強さとスペクトルギャップに明示的な依存関係を示す。
• 古典的量子状態に対するシャドウトモグラフィー手順が改善され、必要なコピー数は量子次元に比例するが、古典レジスタのサイズには依存しない。
• 3つのクラスについて明示的なカバー数バウンドを導出：(1) ユニタリ時間発展演算子状態、(2) 固定ハミルトニアンの低エネルギー部分空間への射影、(3) 摂動ハミルトニアンの低エネルギー部分空間への射影。これらすべてが、提案された枠組みのもとで有限のサンプル複雑度を有する。