[論文レビュー] Learning, Realizability and Games in Classical Arithmetic

Federico Aschieri|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、誤りからの学習を通じて自己修正するプログラムとして証明をモデル化する、古典的算術のための新しい計算的意味論、『インタラクティブ学習ベースの実現可能性』を導入する。本稿は、学習ベースの実現可能性と1バックトラックCoquandゲーム意味論との間で完全な健全性および完全性の対応関係を確立し、古典的算術における学習プロセスの構成的解析を提供する。これには、学習長の上限と、第二順序算術における更新手続きの超限的拡張が含まれる。

ABSTRACT

In this dissertation we provide mathematical evidence that the concept of learning can be used to give a new and intuitive computational semantics of classical proofs in various fragments of Predicative Arithmetic. First, we extend Kreisel modified realizability to a classical fragment of first order Arithmetic, Heyting Arithmetic plus EM1 (Excluded middle axiom restricted to Sigma^0_1 formulas). We introduce a new realizability semantics we call "Interactive Learning-Based Realizability". Our realizers are self-correcting programs, which learn from their errors and evolve through time. Secondly, we extend the class of learning based realizers to a classical version PCFclass of PCF and, then, compare the resulting notion of realizability with Coquand game semantics and prove a full soundness and completeness result. In particular, we show there is a one-to-one correspondence between realizers and recursive winning strategies in the 1-Backtracking version of Tarski games. Third, we provide a complete and fully detailed constructive analysis of learning as it arises in learning based realizability for HA+EM1, Avigad's update procedures and epsilon substitution method for Peano Arithmetic PA. We present new constructive techniques to bound the length of learning processes and we apply them to reprove - by means of our theory - the classic result of Godel that provably total functions of PA can be represented in Godel's system T. Last, we give an axiomatization of the kind of learning that is needed to computationally interpret Predicative classical second order Arithmetic. Our work is an extension of Avigad's and generalizes the concept of update procedure to the transfinite case. Transfinite update procedures have to learn values of transfinite sequences of non computable functions in order to extract witnesses from classical proofs.

研究の動機と目的

• 算術の断片、特にHeyting算術にEM₁を加えたものにおける古典的証明の構成的で学習ベースの計算的解釈を提供すること。
• 修正された実現可能性を古典論理へと拡張し、実現者を誤りに起因する学習を通じて進化する自己修正型プログラムとしてモデル化することで、直観的論理を超える。
• 学習ベースの実現可能性と1バックトラックゲーム意味論との完全な対応関係を確立し、健全性および完全性を証明すること。
• 古典的算術における学習プロセスの構成的解析を提供し、Gödelの体系Tにおける学習長の上限を含めること。
• Avigadの有限更新手続きを、予言的古典的第二順序算術を解釈するために超限順序数へと拡張すること。

提案手法

• 原子的実現者を失敗に基づいて自己修正する学習エージェントとしてモデル化する、新たな実現可能性意味論である『インタラクティブ学習ベースの実現可能性』を導入する。
• 実現者を、常にテスト・質問・知識の拡張を繰り返す自己修正型プログラムとして定義し、古典的原則が直観的論理を超えてこの学習行動を可能にする。
• 学習ベースの実現者と1バックトラックTarskiゲームにおける再帰的勝利戦略との間の対応関係を構築し、健全性および完全性を証明する。
• 非標準的自然数のペアと収束モジュラスを用いて、Gödelの体系Tの非標準的モデルを構築し、学習プロセスの長さを束縛する。
• Avigadの有限更新手続きを、超限順序数（例：ω + k）へと拡張し、エプシロン置換と臨界式の分析を用いて古典的第二順序算術を解釈する。
• バーレジューと型0の再帰を用いて、学習プロセスの停止および収束を解析し、体系Tにおける構成的上限を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Heyting算術にEM₁を加えたものにおける古典的証明を、構成的で学習ベースの計算的解釈として与える方法は何か？
• RQ2 学習ベースの実現可能性と1バックトラックゲーム意味論との正確な対応関係は何か？
• RQ3 古典的算術における学習プロセスの長さを構成的に束縛できるか。もし可能であれば、その方法は何か？
• RQ4 Avigadの有限更新手続きを、第二順序算術の超限順序数へと一般化できるか？
• RQ5 古典的原則は、直観的フレームワーク内での自己修正的で学習ベースの計算を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• インタラクティブ学習ベースの実現可能性は、HA + EM₁における古典的証明の健全かつ完全な解釈を提供し、実現者と1バックトラックTarskiゲームにおける再帰的勝利戦略が正確に一致する。
• 本稿は、学習プロセスが収束モジュラスによって束縛され、かつこれらの束縛自体が体系Tで表現可能である非標準的モデルを構築した。
• エプシロン置換法および更新手続きにおける学習プロセスの長さは構成的に束縛されており、その束縛は体系Tで証明可能である。
• 更新手続きの超限的拡張（順序数ω + k）は、予言的古典的第二順序算術の構成的解釈を提供する。
• 本理論は、PAの証明可能全関数が体系Tで表現可能であるGödelの結果を、学習と収束モジュラスに基づく新しい構成的メソッドを用いて再証明する。
• 順序数ω + kの更新手続きの適切性が証明され、すべてのこのような手続きが有限のゼロを持つならば、Elementary Analysisは1-無矛盾であることが示された。