[論文レビュー] Learning Regions of Attraction in Unknown Dynamical Systems via Zubov-Koopman Lifting: Regularities and Convergence

Yiming Meng, Ruikun Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、未知の非線形力学系における吸引領域（ROA）を推定するデータ駆動型手法を提案する。この手法は、観測可能な軌道を無限次元関数空間にアップライトするZubov-Koopman作用素を学習することで、Zubov方程式の解を反復的に近似し、真のROAに収束する。このアプローチにより、データ要件を削減するとともに、形式的検証が可能な近似最大のリャプノフ関数の推定が可能となる。

ABSTRACT

The estimation for the region of attraction (ROA) of an asymptotically stable equilibrium point is crucial in the analysis of nonlinear systems. There has been a recent surge of interest in estimating the solution to Zubov's equation, whose non-trivial sub-level sets form the exact ROA. In this paper, we propose a lifting approach to map observable data into an infinite-dimensional function space, which generates a flow governed by the proposed `Zubov-Koopman' operators. By learning a Zubov-Koopman operator over a fixed time interval, we can indirectly approximate the solution to Zubov's equation through iterative application of the learned operator on certain functions. We also demonstrate that a transformation of such an approximator can be readily utilized as a near-maximal Lyapunov function. We approach our goal through a comprehensive investigation of the regularities of Zubov-Koopman operators and their associated quantities. Based on these findings, we present an algorithm for learning Zubov-Koopman operators that exhibit strong convergence to the true operator. We show that this approach reduces the amount of required data and can yield desirable estimation results, as demonstrated through numerical examples.

研究の動機と目的

• 完全なシステムダイナミクスが入手不可能な未知の非線形力学系において、漸近安定な平衡点の吸引領域（ROA）を推定すること。
• 観測可能な軌道データを無限次元関数空間に写像するアップライトフレームワークを構築し、その空間で線形なZubov-Koopman作用素に従うようにすること。
• ROAの正確な定義を提供するZubov方程式の解を、学習した作用素の反復的適用によって近似すること。
• 近似解から近似最大のリャプノフ関数を構築し、安定性の形式的検証を可能にすること。
• データ駆動学習におけるZubov-Koopman作用素の理論的正則性および収束性を確立すること。

提案手法

• Koopman型作用素フレームワークを用いて、観測可能な状態軌道を関数空間にアップライトし、Zubov-Koopman作用素に従う線形な時間発展を実現する。
• Zubov-Koopman作用素を、固定時間間隔におけるシステムのフローに従って関数を進化させる連続的時間の半群として定義する。
• EDMDやニューラルネットワークベースの関数近似などのデータ駆動近似手法を用いて、軌道データからZubov-Koopman作用素を学習する。
• 半群性質と粘性解理論を活用して、参照関数への学習作用素の反復的適用によりZubov方程式の解を近似する。
• 単調変換を適用することで、学習された近似器を前方不変性と安定性検証を保証する近似最大のリャプノフ関数に変換する。
• 基礎となるPDEの正則性解析と粘性解理論を用いて、学習作用素が真のZubov-Koopman作用素に収束することを理論的に確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ駆動型アプローチは、収束保証のもとで未知非線形系のZubov方程式の解を近似可能か？
• RQ2 限られた軌道データからZubov-Koopman作用素をどのように構築し、アップライト関数空間におけるダイナミクスを表現できるか？
• RQ3 Zubov-Koopman作用素が有する正則性特性は何か？ そして、それらが学習プロセスの安定性と収束性をどのように保証するか？
• RQ4 学習された近似器を、形式的検証が可能な近似最大のリャプノフ関数に変換可能か？
• RQ5 従来の形式的手法や直接PDEソルバーと比較して、この手法はどの程度データ要件を削減できるか？

主な発見

• Zubov-Koopman作用素は適切な関数空間上で強連続半群であることが示され、アップライトフレームワークの適切な定式化が保証される。
• Zubov方程式の解は粘性解として一意に特徴付けられ、適切な定義域条件下でZubov-Koopman作用素がこの一意性を保持することが示された。
• やや弱い正則性仮定のもとで、学習されたZubov-Koopman作用素は真の作用素に収束し、収束速度はデータ品質および関数近似の精度に依存する。
• Koopman作用素の線形構造を活用することで、古典的手法と比較してデータ要件を削減できる。
• 学習された近似器の変換により、前方不変性を保証する近似最大のリャプノフ関数が得られ、ROAの形式的検証が可能となる。
• 数値例では、限られた軌道データでも本手法が正確なROA推定を達成でき、ベースラインのデータ駆動型リャプノフアプローチを上回ることが示された。