[論文レビュー] Learning stabilizer states by Bell sampling

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$n$ デュイトの未知の安定化状態を、僅か $O(n)$ コピーとベル測定（ベル基底での測定）のみを用いて特定する量子アルゴリズムを提示する。この手法は、2キュービットのペアに対する集合的測定を介して安定化群を効率的に再構築し、$O(n^3)$ の実行時間と指数的になだめの失敗確率を達成する。これは情報理論的下界と一致する。

ABSTRACT

We show that measuring pairs of qubits in the Bell basis can be used to obtain a simple quantum algorithm for efficiently identifying an unknown stabilizer state of n qubits. The algorithm uses O(n) copies of the input state and fails with exponentially small probability.

研究の動機と目的

• 未知の $n$ デュイトの安定化状態を特定する効率的な量子アルゴリズムを開発すること。
• 状態コピーの数を最小限に抑え、ホーレルの定理から導かれる情報理論的下界と一致する $O(n)$ コピーを達成すること。
• 2つのコピーを同時に測定する2キュービットのペアワイズベル測定のみを用いることで、より複雑な集合的測定と比較して実装を簡素化すること。
• 高い成功確率を保証し、失敗率を $n$ に関して指数的に小さくすること。
• 量子情報処理における安定化状態学習の実用的でスケーラブルな手法を提供すること。

提案手法

• 各キュービットペアをベル基底で測定することで、$n$ デュイトのコピーのペアに対してベルサンプリングを実行し、$2n$ ビットの結果文字列を取得する。
• 結果 $r$ を観測する確率は、$|\langle \psi | \sigma_r | \psi^* \rangle|^2 / 2^n$ に比例し、測定結果と安定化構造を結びつける。
• 基準結果 $r_0$ を基準として、$2n$ 個のベルサンプルを収集し、差 $r_i \oplus r_0$ を形成する。これらは安定化群 $T \subseteq \mathbb{F}_2^{2n}$ 上で一様分布する。
• 差ベクトル $2n$ 個を用いてガウスの消去法を適用し、$T$ を生成する基底を抽出する。これは高確率で $T$ を張る。
• 位相情報（固有値の符号）は、対応するパウリ演算子の固有基底で $|\psi\rangle$ の単一コピーを測定することで特定する。
• 合計で $5n+2$ コピーを用いる：1つの基準ペアと、サンプリング用に $2n$ 個の追加ペア。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホーレルの定理から導かれる情報理論的下界と一致する $O(n)$ コピーで安定化状態を特定できるか？
• RQ2 2つのコピーのペアに対してベルサンプリングを施すことで、安定化群を完全に再構築するのに十分な情報を得られるか？
• RQ3 ベル基底測定に基づく単純な測定スキームにより、高精度な状態同定が可能か？
• RQ4 $O(n)$ 個のベルサンプルを用いて安定化群を再構築する際の成功確率は何か？
• RQ5 $O(n^3)$ の実行時間で効率的に実装されつつ、失敗確率を低く保てるか？

主な発見

• 本アルゴリズムは、情報理論的下界（ホーレルの定理）と一致する $O(n)$ コピーのみで未知の安定化状態を特定する。
• 失敗確率は $n$ に関して指数的に小さく、次元 $n-1$ の部分空間の和集合をとるユニオンバウンドにより $2^{-n}$ 以下に抑えられる。
• アルゴリズムの実行時間は $O(n^3)$ であり、安定化群の基底を求めるガウスの消去法が主な計算負荷を占める。
• 基準サンプル $r_0$ を基準として差を取ることで、ベルサンプリングの結果は安定化群 $T$ 上で一様分布する。
• 本手法は、$\mathbb{F}_2$ 上の二次的ブール関数を学習するロッテラーのアルゴリズムを一般化する。
• 実験的に実現可能であり、ベル基底測定と単一キュービット測定のみに依存しており、実装が容易である。