[論文レビュー] Learning Stable Models for Prediction and Control

Giorgos Mamakoukas, Ian Abraham+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2020

Model Reduction and Neural Networks被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、最小二乗解に最も近い安定行列を計算することで、データ駆動型Koopmanモデルにおける安定性を強制するDISKO（Data-Driven Identification of Stable Koopman Operators）を提案する。この手法は、長期予測精度を向上させ、システムの安定性と整合性を保ち、リャプノフ関数を用いた証明可能な安定化制御を可能にする。有効性は、振り子、クアッドローター、プッシュャースライダー系で検証された。

ABSTRACT

This paper demonstrates the benefits of imposing stability on data-driven Koopman operators. The data-driven identification of stable Koopman operators (DISKO) is implemented using an algorithm \cite{mamakoukas_stableLDS2020} that computes the nearest extit{stable} matrix solution to a least-squares reconstruction error. As a first result, we derive a formula that describes the prediction error of Koopman representations for an arbitrary number of time steps, and which shows that stability constraints can improve the predictive accuracy over long horizons. As a second result, we determine formal conditions on basis functions of Koopman operators needed to satisfy the stability properties of an underlying nonlinear system. As a third result, we derive formal conditions for constructing Lyapunov functions for nonlinear systems out of stable data-driven Koopman operators, which we use to verify stabilizing control from data. Lastly, we demonstrate the benefits of DISKO in prediction and control with simulations using a pendulum and a quadrotor and experiments with a pusher-slider system. The paper is complemented with a video: \url{https://sites.google.com/view/learning-stable-koopman}.

研究の動機と目的

• 学習されたKoopman作用素が元の非線形システムの安定性特性を保持しないことが一般的であるという深刻な問題に対処し、発散する予測や制御の失敗を回避する。
• 同定プロセス中に安定性制約を適用することで、Koopmanベースのモデルの長期的予測精度を向上させる。
• 学習されたKoopman作用素がシステムの真の安定性特性を反映するように保証するための基底関数に関する形式的条件を確立する。
• 安定Koopman作用素を用いて非線形システムのためのリャプノフ関数をデータ駆動で構築する手法を開発し、証明可能な安定化制御を可能にする。
• 多様な力学系におけるシミュレーションおよび実世界の実験を通じて、安定Koopmanモデルの実用的利点を示す。

提案手法

• 予測された状態遷移と実際の状態遷移の残差のフロベニウスノルムを最小化する最小二乗最適化問題としてKoopman作用素の学習を定式化する。
• 最小二乗解に最も近い安定行列を数値的に計算するアルゴリズムを適用し、得られるKoopman作用素が漸近的に安定であることを保証する。
• 任意の時間ステップ数における予測誤差の閉形式表現を導出し、安定性制約が長期にわたり誤差蓄積を低減することを示す。
• Koopman作用素が元のシステムの安定性特性を継承できるようにするための基底関数の選択条件を理論的に確立する。特に、平衡点における性質に注目する。
• Koopman作用素の固有値特性を活用して、安定Koopman作用素からリャプノフ関数を構築し、安定化制御方策の形式的検証を可能にする。
• DISKOフレームワークをシミュレーション（振り子、クアッドローター）および実験（プッシュャースライダー系）に実装し、予測精度および制御性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ駆動型Koopman作用素における安定性の強制が、標準的な同定手法と比較して長期予測精度に与える影響は何か？
• RQ2 学習されたKoopman作用素が元の非線形システムの安定性を保持できるようにするため、基底関数が満たすべき制約は何か？
• RQ3 安定Koopman作用素を用いて非線形システムの有効なリャプノフ関数を構築できるか。その場合、どのような条件下で可能か？
• RQ4 安定性の強制が、データから安定化制御則を合成する能力に与える影響は何か？
• RQ5 提案された安定性制約は、複雑な力学を示す実世界のロボット系においてどのように機能するか？

主な発見

• 安定性を強制した場合、誤差蓄積を定量的に示す導出式により、Koopman表現の予測誤差が長期にわたりよりゆっくりと増加することが示された。
• 平衡点において非ゼロだが、他の平衡点では消失しない基底関数（例：$g_k(0,0) \neq 0$）は、不安定なKoopman作用素を生じさせる可能性があるため、慎重な選択が不可欠である。
• 安定性を強制する場合、特定の平衡点でのみ非ゼロとなる基底関数に対応する行がKoopman作用素にゼロでなければならないことが示され、これは冗長性を示唆する。
• 安定Koopman作用素を用いることで、有効なリャプノフ関数の構築が可能となり、安定化制御方策の形式的検証が可能になる。
• DISKOは、振り子およびクアッドローターの長期予測シミュレーションにおいて、標準的なKoopman学習手法を上回る顕著な予測精度の向上を達成した。
• 本手法は、実際のプッシュャースライダー系においても、成功裏に安定化制御を実現し、実験的環境における頑健性と実用的妥当性を示した。