[論文レビュー] Leave-one-out least squares Monte Carlo algorithm for pricing Bermudan options

Jeechul Woo, Chenru Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アメリカンおよびバミューダン・オプションの価格設定においてLSM法を用いる際の先見的バイアス（look-ahead bias）を排除するため、Leave-One-Out Least Squares Monte Carlo（LOOLSM）アルゴリズムを導入する。回帰モデルを残し1つのサンプルのみを除いたサンプルで訓練することで、行使意思決定と将来のペイオフの間の架空の相関を排除し、シミュレーションを2重にしなくてもバイアス低減を達成する。この際、漸近的バイアスは回帰変数数とシミュレーションパス数の比に比例する。

ABSTRACT

The least squares Monte Carlo (LSM) algorithm proposed by Longstaff and Schwartz (2001) is widely used for pricing Bermudan options. The LSM estimator contains undesirable look-ahead bias, and the conventional technique of avoiding it requires additional simulation paths. We present the leave-one-out LSM (LOOLSM) algorithm to eliminate look-ahead bias without doubling simulations. We also show that look-ahead bias is asymptotically proportional to the regressors-to-paths ratio. Our findings are demonstrated with several option examples in which the LSM algorithm overvalues the options. The LOOLSM method can be extended to other regression-based algorithms that improve the LSM method.

研究の動機と目的

• アメリカンおよびバミューダン・オプションの価格設定に用いる標準的LSMアルゴリズムに内在する先見的バイアスに対処すること。
• 従来の二重シミュレーション法に代わる、計算効率の高いバイアス除去の代替手法を開発すること。
• 先見的バイアスが回帰変数数とシミュレーションパス数の比に漸近的に比例することを示す理論的基盤を確立すること。
• LSMがオプション価格を過大評価するメカニズムが顕著な多資産および複雑な構造的ノート・オプションにおいて、本手法の有効性を実証すること。
• LOOLSMフレームワークを、他の回帰ベースのモンテカルロアルゴリズムへと拡張し、デリバティブ価格設定における精度向上を図ること。

提案手法

• 回帰モデルによる継続価値推定のため、1つのシミュレーションパスを除いたすべてのパスでモデルを訓練する、leave-one-out交差検証のアプローチを提案。これにより、意思決定とペイオフ評価に同じパスを使用することに起因する先見的バイアスが排除される。
• 各行使日においてleave-one-out回帰を適用し、推定された継続価値が意思決定ルールで使用される将来のペイオフ経路と条件付き独立となるように保証する。
• 従来の二重シミュレーション手法とは異なり、完全な第二のシミュレーションセットを必要としないため、計算効率を維持する。
• 理論的分析により、LSMにおける先見的バイアスが、回帰関数の数（回帰変数）とシミュレーションパス数の比に漸近的に比例することを示している。
• 帰納的および確率的議論を用いて、LOOLSM推定量のバイアスが確率的におよび期待値において、O_p(M/N) のレートでゼロに収束することを証明している。ここで M は回帰変数数、N はパス数である。
• 集中不等式およびモーメントバウンドを用い、基底関数およびペイオフ構造に正則性条件が課せられた場合の収束特性を確立している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LSMアルゴリズムにおける先見的バイアスは、シミュレーション数を2倍にしなくても排除可能か？
• RQ2 回帰変数数とLSMにおけるバイアスの大きさとの間には、理論的にどのような関係があるか？
• RQ3 LSMがオプション価格を過大評価することが知られる多資産バミューダン・オプションにおいて、LOOLSM手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 標準的仮定の下で、LOOLSM推定量は確率的におよび期待値において真のオプション価格に収束するか？
• RQ5 LOOLSMフレームワークは、他の回帰ベースのモンテカルロ法へ一般化可能か？

主な発見

• LOOLSMアルゴリズムは、二重のシミュレーションセットを必要とせず、アメリカンおよびバミューダン・オプションの価格設定における先見的バイアスを効果的に排除し、二重シミュレーション法に代わる計算効率の高い代替手法を提供する。
• 理論的分析により、LSMにおける先見的バイアスが、回帰変数数（M）とシミュレーションパス数（N）の比に漸近的に比例することが確認された。すなわち、O_p(M/N) である。
• 多資産オプションの例では、標準的LSM法が先見的バイアスのため著しくオプション価格を過大評価するが、LOOLSMはこの過大評価を効果的に是正する。
• LOOLSM推定量は、シミュレーションパス数が増加するにつれて、真のオプション価格に確率的に収束し、バイアスがゼロに減少する。
• LOOLSM推定量の期待バイアスは o_p(1) であり、任意の δ > 0 および ε > 0 に対して、N を十分に大きくすることでバイアスが δ を超える確率を任意に小さくできる。これにより一貫性が裏付けられる。
• 本手法は、他の回帰ベースのモンテカルロアルゴリズムへも拡張可能であり、シミュレーションベースのデリバティブ価格設定におけるバイアス低減の一般的なフレームワークを提供する。