[論文レビュー] Leavitt path algebras with at most countably many irreducible representatios

Pere Ara, Kulumani M. Rangaswamy|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Leavitt パス代数 $L_K(E)$ が高々可算個の単純左または右加群の同型類をもつ——いわゆる CIRT（可算非可約表現型）——となるための必要十分条件を確立する。$L_K(E)$ が CIRT であることは、各々の商が高々可算個の $K$ または $K[x,x^{-1}]$ 上の行列環の直和であるような、可算長の滑らかな上昇鎖の列 $0 = I_0 < I_1 < \cdots < I_\alpha < \cdots$ による $L_K(E)$ の直和に等しいことと同値であり、また $E$ にサイクルが含まれる場合には $K$ が可算でなければならないことを示している。

ABSTRACT

Let E be an arbitrary directed graph with no restrictions on the number of vertices and edges and let K be any field. We give necessary and sufficient conditions for the Leavitt path algebra L_K(E) to be of countable irreducible representation type, that is, we determine when L_K(E)has at most countably many distinct isomorphism classes of simple left L_K(E-modules. It is also shown that L_K(E) has dinitely many isomorphism classes of simple left modules if and only if L_K(E) is a semi-artinian von Neumann regular ring with at most finitely many ideals. Equivalent conditions on the graph E are also given. Examples are constructed showing that for each (finite or infinite) cardinal m there exists a Leavitt path algebra L having exactly m distinct isomorphism classes of simple left modules.

研究の動機と目的

• Leavitt パス代数 $L_K(E)$ が高々可算個の単純加群の同型類をもつときの条件を特定すること。
• グラフ $E$ と体 $K$ に課される構造的条件が、可算非可約表現型（CIRT）を保証する仕組みを明確化すること。
• 有限非可約表現型をもつことの特徴づけを、有限個のイデアルをもつ半代数的 von Neumann 正則環を用いて行うこと。
• 任意の基数 $\kappa$ に対して、単純右加群の同型類がちょうど $\kappa$ 個存在する Leavitt パス代数の例を構成すること。

提案手法

• 可算順序数 $\tau$ に対して、$\alpha < \tau$ を満たす滑らかな上昇鎖の列 $0 = I_0 < I_1 < \cdots < I_\alpha < \cdots$ を用いて $L_K(E)$ を分解すること。
• 連続する商 $I_{\alpha+1}/I_\alpha$ が $K$ や $K[x,x^{-1}]$ 上の行列環の直和として表され、これが単純加群を分類することを分析すること。
• 代数的分岐系の理論と Chen の sink や無限路による表現を用いて単純加群を分析すること。
• 順序数 $\lambda$ に対して超限帰納法を用いて「ピラミッド」グラフ $P_\lambda$ を構成し、$L_K(P_\lambda)$ がちょうど $|\lambda|$ 個の単純加群の同型類をもつことを示すこと。
• 線形点と $E$ の中で正規化された飽和集合の構造を用いて加群圏を制御すること。
• $L_K(E)$ が有限個の単純加群をもつことと、有限個のイデアルをもつ半代数的 von Neumann 正則環であることの同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ $E$ と体 $K$ にどのような条件を課すと、$L_K(E)$ が高々可算個の単純左加群の同型類をもつようになるか？
• RQ2 $L_K(E)$ が有限個の単純加群の同型類をもつのはいつか？ そしてこれは半代数的性や von Neumann 正則性といった環論的性質とどのように関係しているか？
• RQ3 Leavitt パス代数は、任意の与えられた基数 $\kappa$ を単純右加群の同型類の数として実現できるか？ その実現方法は何か？
• RQ4 $E$ にサイクルが存在する場合、CIRT 代数の文脈で体 $K$ にどのような制約が課されるか？
• RQ5 グラードイデアルとその連続する商が、$L_K(E)$ の単純加群圏の分類に果たす役割は何か？

主な発見

• Leavitt パス代数 $L_K(E)$ が可算非可約表現型（CIRT）であることは、$L_K(E)$ が可算長の滑らかな上昇鎖の列 $0 = I_0 < I_1 < \cdots < I_\alpha < \cdots$ による直和であることと同値であり、各商 $I_{\alpha+1}/I_\alpha$ が高々可算個の $K$ または $K[x,x^{-1}]$ 上の行列環の直和である。
• グラフ $E$ にサイクルが含まれる場合、$L_K(E)$ が CIRT であるためには $K$ が可算でなければならない。
• $L_K(E)$ が有限個の単純左／右加群の同型類をもつことは、$L_K(E)$ が有限個のイデアルをもつ半代数的 von Neumann 正則環であることと同値である。
• 任意の基数 $\kappa$ に対して、単純右 $L_K(E)$-加群の同型類がちょうど $\kappa$ 個存在する Leavitt パス代数 $L_K(E)$ が存在する。
• 超限帰納法を用いて「ピラミッド」グラフ $P_\lambda$ を構成することで、$L_K(P_\lambda)$ がちょうど $|\lambda|$ 個の単純加群の同型類をもつことが得られる。
• $E$ が有限の場合、$L_K(E)$ が有限個の単純加群をもつことは、$L_K(E)$ がアートリアン半単純であることと同値であり、これは $E$ が非巡回的（acyclic）であることとちょうど一致する。