[論文レビュー] Lebesgue and Hardy spaces for symmetric norms I

Yanni Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$L^\infty(\mathbb{T})$ 上の連続的回転対称ノルム $\alpha$ に関連する Lebesgue 空間 $L^\alpha(\mathbb{T})$ および Hardy 空間 $H^\alpha(\mathbb{T})$ を導入し、それらを研究する。これは古典的な $L^p$ および $H^p$ 空間の一般化である。主な結果として、劣微分収束定理、$\alpha'$ を用いた双対性、$\alpha$ と $\alpha'$ が強く連続である場合の完備性、および von Neumann 代数における非可換 $L^\alpha$ 空間の双対性定理を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we define and study a class $\mathcal{R}_{c}$ of norms on $L^{\infty}\left( \mathbb{T} ight) $, called $continuous\ rotationally\ symmetric \ norms$, which properly contains the class $\left \{ \left \Vert \cdot ight \Vert _{p}:1\leq p

研究の動機と目的

• 連続的回転対称ノルム $\alpha$ を用いた空間 $L^\alpha(\mathbb{T})$ および $H^\alpha(\mathbb{T})$ を導入することで、$p$-スケールを超えて古典的 $L^p$ および $H^p$ 空間理論を拡張すること。
• 劣微分収束定理、双対性、Beurling 型不変部分空間定理などの結果を、このようなノルムの全クラスにわたって統一的かつ一般化すること。
• von Neumann 代数における非可換 $L^\alpha$ 空間の双対性枠組みを確立し、古典的双対性を対称的ゲージノルムへ拡張すること。
• $L^\alpha(\mathbb{T})$ の完備性および弱列完備性を、$\alpha$ とその双対 $\alpha'$ の強連続性の観点から特徴付けること。

提案手法

• $L^\infty(\mathbb{T})$ 上の連続的回転対称ノルム $\alpha$ を、回転に対して不変なゲージノルムとして定義し、$w \in \mathbb{T}$ に対して $\alpha(f_w) = \alpha(f)$ を満たすものとする。
• $L^\alpha(\mathbb{T})$ を $L^\infty(\mathbb{T})$ の $\alpha$-閉包として、$H^\alpha(\mathbb{T})$ を $\{1, z, z^2, \dots\}$ の $\alpha$-閉線形包として構成する。
• 双対性による双対半ノルム $\alpha'$ を定義する：$\mathcal{L}^{\alpha'}(\mathbb{T})$ は $L^\alpha(\mathbb{T})$ の双対空間であり、$\alpha'' = \alpha$ が成り立つ。
• $L^\alpha(\mathbb{T})$ における劣微分収束定理を証明し、それが $\mathcal{L}^\alpha(\mathbb{T})$ 内で $L^\alpha(\mathbb{T})$ を特徴付けることを示す。
• Fejér および Poisson 核との畳み込みを用いて、$L^\alpha(\mathbb{T}, X)$ に属する関数が、そのフーリエ級数の Cesàro 平均の極限として表せることを示す。
• von Neumann 代数における非可換双対性を、$\alpha$ と $\alpha'$ が強く連続である条件の下で $L^\alpha(\mathcal{M}, \tau)^\# = L^{\alpha'}(\mathcal{M}, \tau)$ が成り立つことによって確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 $L^p$ および $H^p$ 空間の結果を $p$-スケールを越えて、より広いノルムのクラスへどのように拡張できるか？
• RQ2 回転対称ノルム $\alpha$ にどのような条件を課すと、$L^\alpha(\mathbb{T})$ の完備性または弱列完備性が保証されるか？
• RQ3 $L^\alpha(\mathbb{T})$ に対する双対性理論を確立できるか？また、その双対ノルム $\alpha'$ との関係は何か？
• RQ4 Banach 空間値関数に対する $L^\alpha(\mathbb{T}, X)$ において、畳み込みおよび三角多項式による近似はどのように振る舞うか？
• RQ5 von Neumann 代数における $L^\alpha$ 双対性の非可換類似は何か？また、双対性同型が成り立つための条件は何か？

主な発見

• $L^\alpha(\mathbb{T})$ の双対空間は $\mathcal{L}^{\alpha'}(\mathbb{T})$ に等長同型であり、連続的 $\alpha$ に対して $\alpha'' = \alpha$ が成り立つ。
• 連続的 $\alpha$ が強く連続であることと、$L^\alpha(\mathbb{T})$ が弱列完備であることとは同値である。
• $\alpha$ と $\alpha'$ がともに強く連続であるとき、$L^\alpha(\mathbb{T})$ は reflexive である。
• 劣微分収束定理は $\mathcal{L}^\alpha(\mathbb{T})$ 内で $L^\alpha(\mathbb{T})$ を特徴付ける。また、ある連続的 $\alpha$ に対して $\mathcal{L}^\alpha(\mathbb{T}) \neq L^\alpha(\mathbb{T})$ である例が存在する。
• $\alpha$ が連続な $f \in L^\alpha(\mathbb{T}, X)$ に対して、$f$ はそのフーリエ級数の Cesàro 平均の $\alpha$-極限である。
• $II_1$ 型 von Neumann 代数 $\mathcal{M}$ に対して、$\alpha$ と $\alpha'$ が強く連続であるとき、$L^\alpha(\mathcal{M}, \tau)^\# = L^{\alpha'}(\mathcal{M}, \tau)$ が成り立ち、$L^\alpha(\mathcal{M}, \tau)$ が弱列完備であることと $\alpha$ が強く連続であることとは同値である。