[論文レビュー] Lecture notes on Cherednik algebras

Pavel Etingof, Xiaoguang Ma|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 55被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、有理Cherednik代数と可積分系、表現論、幾何的量子化との関係を包括的に紹介する。有理Cherednik代数のPBW定理を確立し、カテゴリOを構築し、対称群の球面Cherednik代数が量子ハミルトニアン還元代数 $ B_k $ に同型であることを証明することで、量子モーメント写像と変形理論を通じて、これらの代数のLie理論的実現を構成する。

ABSTRACT

The present notes are based on a course on Cherednik algebras given by the first author at MIT in the Fall of 2009. Their goal is to give an introduction to Cherednik algebras, and to review the web of connections between them and other mathematical objects.

研究の動機と目的

• 有理Cherednik代数とその基礎的構造について自己完結的な紹介を提供すること。
• PBW定理を確立し、有理Cherednik代数の表現論（カテゴリOおよび標準的モジュールを含む）を発展させること。
• 対称群の球面Cherednik代数と量子ハミルトニアン還元代数 $ B_k $ 間の同型を示し、Lie理論的構成をCherednik代数に結びつけること。
• 可積分系、ヘッケ代数、シンプレクティック反射代数、Calogero-Moser空間といった多様な数学的構造を、Cherednik代数の視点から統一すること。

提案手法

• 本稿は、PBW定理を用いて有理Cherednik代数を導入し、それが群代数 $ S(h) times C W $ の平坦な変形であることを証明する。
• 有理Cherednik代数のカテゴリ $ O $ を構築し、半単純Lie代数の表現論を一般化する。
• Dunkl作用素とその可換性を用いて、Calogero-Moser系およびOlshanetsky-Perelomov系の可積分性を証明する。
• 量子モーメント写像を用いて $ D({gl}_n)^{{gl}_n} $ に対する量子ハミルトニアン還元を適用し、代数 $ B_k $ を定義する。この代数が球面Cherednik代数と同型であることが示される。
• 変形されたハリシュ・チャンドラ準同型 $ ext{HC}_k $ を平坦な準同型族として構成し、$ ext{gr} B_k o bC[h imes h^*]^W $ を得ることで、$ B_k $ が変形パrameter $ 1/k $ を持つCalogero-Moser空間の量子化であることを証明する。
• 同型 $ B_k o B_{1,k} $ の証明は、ホッフホワイトコホホロジーおよび普遍変形理論を含む変形論的技法に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dunkl作用素と座標作用素の交換関係を、1つの代数的構造に形式化する方法は何か？
• RQ2 有理Cherednik代数のカテゴリ $ O $ の構造は何か？ そして、これは半単純Lie代数の表現論をどのように一般化するか？
• RQ3 対称群の球面Cherednik代数は、$ D({gl}_n)^{{gl}_n} $ から生じる量子ハミルトニアン還元代数と同型か？
• RQ4 変形されたハリシュ・チャンドラ準同型は、古典的および量子的シンプレクティック解消を結びつける役割を果たすか？
• RQ5 有理Cherednik代数における既約モジュールの台は、余随伴軌道の幾何学およびMacdonald-Mehta積分とどのように関係するか？

主な発見

• 有理Cherednik代数に対してPBW定理が成り立ち、$ S(h) times C W $ の平坦な変形であることが保証され、$ h $, $ W $, $ h^* $ の単項式による基底が与えられる。
• 対称群 $ S_n $ の球面Cherednik代数 $ B_{1,k} $ は、量子ハミルトニアン還元代数 $ B_k $ に同型であり、球面Cherednik代数のLie理論的構成が得られる。
• 変形されたハリシュ・チャンドラ準同型 $ ext{HC}_k $ は、$ ext{gr} B_k o bC[h imes h^*]^W $ を満たす平坦な準同型族であり、$ B_k $ が変形パrameter $ 1/k $ を持つCalogero-Moser空間の量子化であることを証明する。
• $ ext{HC}_k $ の核は、すべての $ k $ に対して $ ext{gr} K(k) = K_0 $ を満たし、族の平坦性および古典的・量子的構造の整合性が確認される。
• 既約モジュール $ L_c(bC) $ の台はMacdonald-Mehta積分を用いて決定され、VaragnoloとVasserotによる有限次元表現の分類の簡潔な証明が得られる。
• キリロフの特性式公式は、結果として得られ、有限次元表現の特性を余随伴軌道上の積分として表現し、ワイルの分母が因子として現れる。