[論文レビュー] Lecture notes on Chern-Simons (super-)gravities. Second edition (February 2008)

Jorge Zanelli|ArXiv.org|Feb 22, 2005

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、奇数次元におけるゲージ不変な重力理論として、チャーン・サイモンズ（超）重力理論を提示する。これは、(反)ド・シーターモンドまたはポincare群のチャーン・サイモンズ形式を用いて、アインシュタイン理論やロヴェロック理論を一般化したものである。主な結果として、補助場を必要とせず、すべての奇数次元で一貫した、オフシェル・超対称性を有する拡張が得られ、標準的なロヴェロック重力とは異なる励起自由度を持つ。

ABSTRACT

This is intended as a broad introduction to Chern-Simons gravity and supergravity. The motivation for these theories lies in the desire to have a gauge invariant system --with a fiber bundle formulation-- in more than three dimensions, which could provide a firm ground for constructing a quantum theory of the gravitational field. The starting point is a gravitational action which generalizes the Einstein theory for dimensions D>4 --Lovelock gravity. It is then shown that in odd dimensions there is a particular choice of the arbitrary parameters of the action that makes the theory gauge invariant under the (anti-)de Sitter or the Poincare groups. The resulting lagrangian is a Chern-Simons form for a connection of the corresponding gauge groups and the vielbein and the spin connection are parts of this connection field. These theories also admit a natural supersymmetric extension for all odd D where the local supersymmetry algebra closes off-shell and without a need for auxiliary fields. No analogous construction is available in even dimensions. A cursory discussion of the unexpected dynamical features of these theories and a number of open problems are also presented.

研究の動機と目的

• D > 4次元におけるチャーン・サイモンズ作用素を用いた、アインシュタイン理論およびロヴェロック理論を一般化した、ゲージ不変な重力形式の構築。
• 補助場を回避する、すべての奇数次元におけるチャーン・サイモンズ重力の整合的でオフシェル超対称な拡張の確立。
• チャーン・サイモンズ重力における励起自由度の起源と構造を明らかにし、標準的ロヴェロック理論と対比する。
• 位相空間における制約と退化の役割を分析し、特に線形化近似における不規則性を特定する。
• 未解決の問題や予期せぬ力学的特徴（例えば、動的な次元削減の可能性）を同定する。

提案手法

• ビールバンドル枠組みを用い、独立したヴィエルバイン $e^a$ と接続 $\nabla \to \text{接続 } A = \text{ヴィエルバインおよびスピン接続成分}$ を導入し、パラティーニおよびカルタンの手法を一般化する。
• 作用を (反)ド・シーターモンドまたはポincare群のチャーン・サイモンズ形式として構築し、奇数次元 $D = 2n+1$ におけるゲージ不変性を保証する。
• 超対称性を導入するため、ゲージ群を超荷を含むように拡張し、オフシェル閉じる超代数のチャーン・サイモンズ作用素を構築する。
• 位相空間のシンプレクティック構造を用い、制約行列 $\Omega_{ab}^{ij}$ のランクを用いて自由度を数える。第一種および第二種制約を区別する。
• シンプレクティック形式の退化を分析し、線形化された力学に影響を及ぼす不規則性（タイプ I および II）を特定する。
• 具体的な例（$D=5$ および $D=11$）にこの形式を適用し、特定の $\cal{N}$-拡張超代数（例：$\cal{N}=4$, $\cal{N}=32$）がアーベル部分代数を含み、第一種および第二種制約の分離を可能にすることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてチャーン・サイモンズ作用素を用いて、高次元の奇数次元における重力をゲージ理論として定式化できるか。どのような群構造がこれを可能にするか。
• RQ2 なぜチャーン・サイモンズ超重力理論は、補助場を必要とせず、オフシェル超対称性を有するのか。標準的定式化とは何が異なるのか。
• RQ3 $D=5$ におけるチャーン・サイモンズ重力とロヴェロック重力の自由度の差異の起源は何か。
• RQ4 位相空間における制約の退化（不規則性）は、チャーン・サイモンズ重力の線形化近似にどのような影響を及ぼすか。
• RQ5 チャーン・サイモンズ重力は動的な次元削減を引き起こす可能性があるか。この現象の背後にあるメカニズムは何か。

主な発見

• 奇数次元 $D=2n+1$ におけるチャーン・サイモンズ重力は、(反)ド・シーターモンドまたはポincare群の下でゲージ不変であり、ヴィエルバインとスピン接続を組み合わせた接続場のチャーン・サイモンズ形式として作用が構成される。
• $D=5$ において、チャーン・サイモンズ理論の励起自由度は13個であるが、それに対応するロヴェロック理論は僅か5個にとどまる。これはスピン接続に起因する追加モードが存在することを示唆する。
• チャーン・サイモンズ重力における自由度の数は、シンプレクティック構造と制約数え上げに基づき、$\Delta^{CS} = 2n^3 + n^2 - 3n - 1$ として得られる。
• 制約系における不規則性（特にタイプ I および II の退化）は、線形化理論が自由度を正しく数えるのを妨げ、特に退化した背景上では誤った自由度数え上げを引き起こす可能性がある。
• $D=5$ および $D=11$ において、特定の $\cal{N}$-拡張超代数（例：$\cal{N}=4$, $\cal{N}=32$）はアーベル部分代数を含み、第一種および第二種制約の分離を可能にし、一貫した量子化を可能にする。
• 理論は予期せぬ力学的特徴を示しており、特に位相空間全体にわたる古典的解の豊富な構造から、動的な次元削減の可能性が示唆されている。