[論文レビュー] Lecture notes on Gaussian multiplicative chaos and Liouville Quantum Gravity

Rémi Rhodes, Vincent Vargas|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、ガウス型乗法的確率測度（GMC）を用いてリーマン球面上のリーマン・リーマン量子重力（LQG）の厳密な確率的構成を提供し、対数相関ガウス場を介してリーマン・リーマン測度の存在と性質を確立する。また、大規模なランダム平面マップのスケーリング極限と関連づけ、LQFTの経路積分的定式化を提示し、離散的ランダムマップと連続的LQGの間の予想される等価性を強調する。

ABSTRACT

The purpose of these notes, based on a course given by the second author at Les Houches summer school, is to explain the probabilistic construction of Polyakov's Liouville quantum gravity using the theory of Gaussian multiplicative chaos. In particular, these notes contain a detailed description of the so-called Liouville measures of the theory and their conjectured relation to the scaling limit of large planar maps properly embedded in the sphere. These notes are rather short and require no prior knowledge on the topic.

研究の動機と目的

• ガウス型乗法的確率測度（GMC）理論を用いてポリヤコフのリーマン・リーマン量子重力の厳密な確率的構成を提供すること。
• 2次元量子重力の文脈においてGMCから生じるリーマン・リーマン測度の定義と分析を行うこと。
• 大規模なランダム平面マップのスケーリング極限と連続的LQG測度との間の予想される関係を調査すること。
• LQGと自己相互作用場理論（CFT）との関係を、特に臨界イジング模型の文脈で確立すること。
• GMC測度を用いてリーマン球面上のリーマン・リーマン量子場理論（LQFT）の経路積分的定式化を提示すること。

提案手法

• リーマン球面上の対数相関ガウス場を用い、共分散核 $ K(x,y) = \ln_+ \frac{1}{|x-y|} + g(x,y) $ を用いてLQGにおけるランダム計量をモデル化する。
• 正則化を用いたGMC測度の構成：$ M_\gamma(dx) = e^{\gamma X_\varepsilon(x)} \sigma(dx) $、ここで $ X_\varepsilon = X * \theta_\varepsilon $ は滑らか化された場である。
• Girsanov変換を用いて指数モーメントを扱い、GMC測度の法則における収束を保証する。
• 正規化を施したリーマン・リーマン測度の定義：$ \mu_\gamma = e^{\gamma X(x) - \frac{\gamma^2}{2} \mathbb{E}[X(x)^2]} dx $、これにより適切な正規化が保証される。
• ランダム三角形分割における共形構造を用いて離散的重力をモデル化し、プッシュバック計量を介して連続的LQGと関連付ける。
• 一様化定理を応用して、ランダム平面マップを共形構造と角錐特異点を伴うリーマン球面に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス型乗法的確率測度は、リーマン球面上のリーマン・リーマン量子重力測度をどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 大規模なランダム平面マップのスケーリング極限と、GMCを用いて構成された連続的リーマン・リーマン測度との関係は何か？
• RQ3 LQGの確率的構成は、リーマン・リーマン量子場理論（LQFT）の経路積分的定式化とどのように関係するか？
• RQ4 2次元臨界イジング模型は、GMCフレームワークを介してLQFTと厳密に結びつけられるか？
• RQ5 ランダム三角形分割における角錐特異点と共形構造は、連続的LQGの出現にどのように寄与するか？

主な発見

• 分布としての $ X $ に対しても、正則化された測度 $ e^{\gamma X_\varepsilon(x)} \sigma(dx) $ の極限として、GMC測度 $ M_\gamma(dx) = e^{\gamma X(x)} \sigma(dx) $ が適切に定義される。
• 正規化 $ \mu_\gamma = e^{\gamma X(x) - \frac{\gamma^2}{2} \mathbb{E}[X(x)^2]} dx $ を用いてリーマン・リーマン測度 $ \mu_\gamma $ が構成され、法則における収束が保証される。
• 理論はリーマン球面上の自己相互作用場理論（CFT）の主な公理を満たしており、特にリーマン・リーマン作用と相関関数に関して成り立つ。
• 頂点次数 $ n \neq 6 $ に起因するランダム平面マップにおける角錐特異点は、曲率 $ 2(2\pi - \theta) $ を示し、ここで $ \theta = \frac{n\pi}{3} $ である。これは負または正の曲率を示す。
• 大規模なランダム平面マップのスケーリング極限は、連続的LQG測度に収束すると予想されるが、収束は特定のトポロジーについてのみ証明済みである。
• 臨界イジング模型の連続極限は、LQFTと同一のCFTによって記述されると予想されるが、その構成は現在まで唯一の厳密な道筋が離散的スケーリング極限によるものである。