[論文レビュー] Lectures on BRS invariance for massive boson fields

José M. Gracia-Bondı́a|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2008

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スティュッケルベルク形式とゴースト場の量子化におけるクレイン作用素の役割に注目し、質量のあるスピン1ゲージ理論におけるBRS不変性について、きめ細やかな取り扱いを提供する。非局所的だが因果的整合性を持つクレイン作用素の導入により、ゴースト場を伴う質量のあるベクトルボソンの存在下でもユニタリティとゲージ不変性を保証する。

ABSTRACT

These notes correspond to lectures given at the Villa de Leyva Summer School in Colombia (July 2007). Our main purpose in this short course on BRS invariance of gauge theories is to illuminate corners of the theory left in the shade by standard treatments. The plan is as follows. First a review of Utiyama's "general gauge theory". Promptly we find a counterexample to it in the shape of the massive spin-1 Stueckelberg gauge field. This is not fancy, as the massive case is the most natural one to introduce BRS invariance in the context of free quantum fields. Mathematically speaking, the first part of the course uses Utiyama's notation, and thus has the flavour and non-intrinsic notation of standard physics textbooks. Next we deal with boson fields on Fock space and BRS invariance in connection with the existence of Krein operators; the attending rigour points are then addressed.

研究の動機と目的

• 質量のあるベクトル場におけるBRS不変性の基礎的問題を明らかにすること、特にスティュッケルベルク形式の文脈において。
• ゲージ理論の標準的取り扱いに内在する幾何的構造の欠如を是正するため、ゲージ対称性の第一原理的導出であるウティヤマの導出を強調すること。
• フォック空間とクレイン作用素を用いて、質量のあるスピン1場におけるBRS対称性の数学的に整合性のある枠組みを確立すること。
• ゴースト場の存在下で局所性、ユニタリティ、ゲージ不変性の間の矛盾を解消するため、適切なクレイン作用素を構築すること。
• 標準的ゴーストラグランジアンが対称微分構造を用いて再定式化可能であることを示し、ゲージ不変性およびクレイン計量との整合性を保つこと。

提案手法

• ゲージ場と物質場の最小結合を、グローバル対称性から局所対称性へと、ウティヤマの方法を用いて導出し、共変微分の役割を強調する。
• スティュッケルベルク形式を適用し、スカラー補助場を導入することで、質量のあるベクトル場を定義し、ゲージ不変性を保ちつつ一貫した量子化スキームを可能にする。
• ゴースト場 $u, \tilde{u}$ をフォック空間上の自由な量子場として導入し、ユニタリ変換 $S$ を用いて $\eta_{\rm gh}$ を定義することで、$\eta$-エルミート性を保証する。
• ゴースト数演算子 $Q_{\rm gh}$ を構築し、$\eta_{\rm gh} = S I S^{-1} = T(\sigma_1)$ を定義する。これにより局所性と正しいゴースト数変換性質が保証される。
• 対称微分 $\partial^\mu$ を用いて相互作用項 $T_1$ を再定式化し、ゲージ不変性および $\eta_{\rm gh}$-エルミート構造との整合性を確保する。
• 物理部分空間上でS行列がユニタリであることを示す。$\eta = \eta_A \otimes \eta_{\rm gh}$ を用いて $\eta$-ユニタリティとゲージ不変性を組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量のあるベクトル場理論におけるBRS不変性を、質量ゼロのゲージ不変性が存在しない状況下でも一貫して実装する方法は何か？
• RQ2 ゴースト場を伴う質量のあるゲージ理論において、クレイン作用素がユニタリティと因果性を保証する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 標準的ゴーストラグランジアンがなぜ $\eta$-エルミートでないのか、そして対称微分を用いることでどのように是正できるか？
• RQ4 クレイン作用素の選択が、ゴースト場およびそれらの相互作用の局所性とエルミート性に与える影響は何か？
• RQ5 質量のあるヤンミルズ理論と質量のないヤンミルズ理論において、ポincare群の表現と $\eta$-ユニタリティ構造との関係は何か？

主な発見

• スティュッケルベルク形式は、ゲージ不変性を保ちつつ、BRS量子化スキームを可能にする一貫した枠組みを提供する。
• ゴースト場 $u, \tilde{u}$ は、$\eta$-エルミート性と因果性を保証するため、非自明なクレイン作用素 $\eta_{\rm gh}$ を用いて取り扱う必要がある。$u^\dagger, \tilde{u}^\dagger$ の使用を回避する。
• 演算子 $I = (-)^{N_{-1}}$ はゴースト数における非局所性のため、クレイン作用素として不適切であるが、変換された演算子 $\eta_{\rm gh} = S I S^{-1} = T(\sigma_1)$ により局所性と正しい変換性質が回復される。
• 相互作用項 $T_1$ は、対称微分 $\partial^\mu$ を用いて再定式化可能であり、これによりゲージ不変性および $\eta_{\rm gh}$-エルミート構造との整合性が保証される。これは標準形とは $Q_{\rm gh}$-コブーリャンスの差異を示す。
• 物理部分空間上でS行列がユニタリであることは、$\eta = \eta_A \otimes \eta_{\rm gh}$ を用いた $\eta$-ユニタリティとゲージ不変性の組み合わせによって保証され、質量のある理論において整合性が確保される。
• 質量のある場合、ポincare表現はユニタリであり、すべての荷電量と可換であるため、$\eta$-ユニタリティは自動的に成立する。質量のない場合とは異なり、$\eta_A$ は共変性のため導入される。