[論文レビュー] Lectures on Constrained Systems

Ghanashyam Date|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、運動方程式が一意に定まらない特異ラグランジアンを特徴とする制約付きハミルトニアン系について、包括的な導入を提供する。ディラックの制約解析を展開し、ディラック＝ベルグマンのアルゴリズムを用いて制約を分類し、一般相対性理論やゲージ理論の中心的役割を果たすハミルトニアン自体が制約である系を検討する。これにより、古典的および量子場の理論におけるゲージ不変性と関係的時間発展の理解の基盤が提供される。

ABSTRACT

These lecture notes were prepared as a basic introduction to the theory of constrained systems which is how the fundamental forces of nature appear in their Hamiltonian formulation. Only a working knowledge of Lagrangian and Hamiltonian formulation of mechanics is assumed. These notes are based on the set of eight lectures given at the {\em Refresher Course for College Teachers} held at IMSc during May-June, 2005. These are submitted to the arxiv for an easy access to a wider body of students.

研究の動機と目的

• 特異ラグランジアンを有する、基礎的場の理論に現れる制約付きハミルトニアン系に対する体系的な導入を提供すること。
• 一意に定まる運動と一意でない進化を示す系との違いを明確にすることに焦点を当て、後者に注目すること。
• ハミルトニアン形式における制約の特定と分類に、ディラック＝ベルグマンのアルゴリズムを展開すること。
• 一般相対性理論におけるようにハミルトニアン自体が制約である系を分析し、力学的進化とゲージ不変性に与える影響を検討すること。
• ゲージ理論の理解と、特に量子重力および場の理論の文脈におけるディラック可観測量の役割を確立する基盤を提供すること。

提案手法

• ラグランジュ形式とハミルトニアン形式を用い、ラグランジアンのヘッシアン行列の退化から生じる制約を特定する。
• ディラック＝ベルグマンのアルゴリズムを適用し、ポアソン括弧に基づいて制約を第一類と第二類に体系的に分類する。
• 第二類制約を扱い、正準構造を保つためにディラック括弧の概念を導入する。
• 第一類制約が示すゲージ対称性の役割を分析し、それらに関連する変換が物理的同等性を生成することを示す。
• ある自由度を時計として選ぶことにより、外部時間発展とは対照的に、関係的（内部的）時間発展の概念を導入する。
• ハミルトニアンが制約である系では、物理的状態が時間再パrameter化に対して不変であり、縮約された位相空間が物理自由度の非制約位相空間と同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ形式における制約が、どのように運動方程式の非一意性を引き起こし、どのような条件下でその系が特異となるのか。
• RQ2 ディラック＝ベルグマンのアルゴリズムが、ハミルトニアン系における制約の分類と物理的自由度の特定に果たす役割は何か。
• RQ3 ハミルトニアンが制約である場合、力学的解釈にどのような影響を及ぼし、時間発展とゲージ不変性にどのような含意をもたらすのか。
• RQ4 第一類制約がどのようにゲージ変換を生成するのか。また、マクスウェル理論における明示的計算によって、その性質をどのように検証できるか。
• RQ5 制約付き系において、関係的（内部的）時間発展はどのように定義できるのか。外部時間パラメータとはどのような関係にあるのか。

主な発見

• ディラック＝ベルグマンのアルゴリズムは、ポアソン括弧に基づいて制約を第一類と第二類に的確に特定・分類でき、一貫した量子化を可能にする。
• マクスウェル電磁力学において、二次的制約は時間発展にわたって保存され、二つの一次的制約間のポアソン括弧が消えることから、それらが第一類であることが確認される。
• 第一類制約によって生成される正準変換は、電磁気学の標準的ゲージ変換と正確に一致し、この文脈における「第一類」という名称の妥当性が裏付けられる。
• 場強度テンソル $F_{ u au}$ が第一類関数であることが示され、ゲージ変換に対して不変であることが確認される。
• ハミルトニアンが制約である系では、物理的進化は関係的である：ゲージ変換の下で軌道が同値となり、縮約位相空間は物理自由度の非制約位相空間と同型である。
• 進化方程式における任意関数 $\lambda$（ lapse 関数）は再パラメータ化不変性に対応し、系の力学は外部時間パラメータの選択に依存しない。