[論文レビュー] Lectures on cyclotomic Hecke algebras

Susumu Ariki|ArXiv.org|Aug 2, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、量子群のカノニカル基底とFock空間の実現を用いて、複素反射群の群代数の変形として、型 $G(m,1,n)$ の巡回的ヘッケ代数を導入する。Lusztigのカノニカル基底、Kashiwaraのクリスタル基底、京都市学派の可解格子模型を介して、これらの代数の表現論と幾何学的・組合せ論的構造との深い関係を確立し、有限古典的リー型群のモジュラー表現を計算するための新規な枠組みを提示するとともに、Brouéの導来同値に関する予想と結びつける。

ABSTRACT

These are lecture notes prepared for London Mathematical Society Symposium "Quantum Groups" held in Durham 19-29 July 1999. We give a survey on cyclotomic Hecke algebras. These algebras have been studied by Dipper, James, Malle, Mathas and the author. In lecture one, we start with definitions. We then go on to Specht module theory of cyclotomic Hecke algebras constructed by Dipper, James and Mathas. In lecture two, we explain Ginzburg and Lusztig's theory on affine Hecke algebras and its application to cyclotomic Hecke algebras due to the author. As Kazhdan-Lusztig bases of Hecke algebras describe decomposition numbers of quantum algebras at roots of unity, canonical bases of quantum affine algebras on integrable modules describe decomposition numbers of cyclotomic Hecke algebras at roots of unity. In particular, it turns out that crystal structure in the sense of Kashiwara exists behind the representation theory of cyclotomic Hecke algebras. This was first observed by Lascoux, Leclerc and Thibon. Its interpretation in terms of socle series was proposed by Rouquier. It is further developed in Vazirani's thesis. The special case of Hecke algebras of type A is extensively studied, and its relation to Lusztig conjecture is now very clear. We explain Varagnolo and Vasserot's work and several algorithms proposed so far. Its application to the decomposition numbers of finite general linear groups due to Dipper and James is also explained. The parametrization of simple modules of cyclotomic Hecke algebras over arbitrary fields in terms of crystal graphs of quantum affine algebras is given by Mathas and the author. In the third lecture, we show that this crystal graph description fits well in the Specht module theory. It uses work of Takemura and Uglov, Varagnolo and Vasserot.

研究の動機と目的

• 型 $G(m,1,n)$ の巡回的ヘッケ代数を、複素反射群代数の変形として包括的に理論化すること。
• これらの代数の表現論と、量子群、幾何的表現論、可解格子模型の高度な構造との橋渡しをすること。
• カノニカル基底とクリスタル基底を実現するFock空間フレームワークを提供し、モジュラー表現理論のための新しい計算ツールを可能にすること。
• Brouéの予想（有限リー型群のモジュラー表現理論における導来同値）と理論を結びつけ、特にユニポテンツブロックに関して関連付けること。
• 型AおよびBヘッケ代数における既存の結果（シュール＝ウェイル双対性、カジダン＝ルスティグ多項式など）を統一的かつ一般化する仕組みを示すこと。

提案手法

• パラメータ $v_1, \dots, v_m$ と $q$ を含む生成元と関係式を用いて、巡回的ヘッケ代数を定義し、バターン、多項式、交換関係を含む関係を符号化する。
• 拡張されたアフィンヘッケ代数 $\hat{H}_n$ から巡回的ヘッケ代数 $\mathcal{H}_n$ への全射代数準同型を構成し、Lusztigの幾何的およびカノニカル基底理論と結びつける。
• Fock空間を表現論の実現として用い、レベル$r$のFock空間 $\mathcal{F}_{{\bf v}^{-1}}^{-\tilde{\gamma}}$ にバー作用素と優越順序を備え、カノニカル基底を定義する。
• Jimbo, Misra, Miwa, Okado, Uglov の高レベルFock空間に関する研究および Varagnolo-Vasserot のレベル1 Fock空間のバージョンを理論の根拠とする。
• Fock空間にクリスタル基底理論を適用し、カノニカル基底要素を計算する。優越順序とアバクスモデルを用いて、組合せ論的構造を比較する。
• Kacの $q$-次元公式を介して、モジュラー表現理論への接続を確立し、単純 $\mathcal{H}_n$-加群の数の母関数を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型 $G(m,1,n)$ の巡回的ヘッケ代数を、複素反射群代数の変形として体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 Fock空間が、これらの代数のカノニカル基底とクリスタル基底をどのように実現するか。また、量子群や可解格子模型とどのように関係するか？
• RQ3 Fock空間におけるカノニカル基底理論が、カジダン＝ルスティグ多項式の理解とその計算にどのように新たな洞察をもたらすか？
• RQ4 巡回的ヘッケ代数が、型AおよびBヘッケ代数の表現論をどのように統一的かつ一般化するか？
• RQ5 これらの代数が、有限リー型群のモジュラー表現理論におけるBrouéの導来同値予想とどのように関係するか？

主な発見

• 巡回的ヘッケ代数 $\mathcal{H}_n(v_1,\dots,v_m;q)$ は、型AおよびBヘッケ代数を一般化する生成元と関係式によって定義され、$L_i$ がJucy-Murphy要素として現れる。
• 拡張されたアフィンヘッケ代数 $\hat{H}_n$ から $\mathcal{H}_n$ への全射代数準同型により、Lusztigのカノニカル基底理論の適用が可能になる。
• Fock空間 $\mathcal{F}_{{\bf v}^{-1}}^{-\tilde{\gamma}}$ はバー作用素と優越順序を備え、カノニカル基底要素を $G(\lambda) = \lambda + \sum_{\mu \triangleright \lambda} c_{\lambda\mu}({\bf v}) \mu$ の形で構成可能である。
• Fock空間の実現を介したカジダン＝ルスティグ多項式の計算のための新アルゴリズムが得られ、従来の方法を改善する。
• Kacの $q$-次元公式により、単純 $\mathcal{H}_n$-加群の数の母関数が得られ、型Bおよびそれ以上の一般化へと結果が拡張される。
• この枠組みはBrouéの予想を支援し、Weyl群 $W(D,\lambda) \simeq G(d,1,a)$ の変形が巡回的ヘッケ代数によって実現されることを示唆し、Rickard同値のための候補となるバイモジュール複体を提供する。