[論文レビュー] Lectures on Deformation quantization of Poisson manifolds

Chiara Esposito|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ポisson多様体の変形量子化の基礎的道具としてのコンツェビッチの形式性定理を簡潔に提示する。多様体 $M$ 上の多項ベクトル場のDGLAと多微分作用素のDGLAの間の $L_∞$-準同型を構成することにより、形式的ポアソン構造の同値類と星積の同型類の間の一対一対応を確立し、任意のポアソン多様体が標準的な変形量子化を有することを示す。

ABSTRACT

These notes are based on the course given at the School of Geometry, University Kasdi Merbah (Ouargla) 2012. The aim of the course was the deformation quantization of Poisson Lie groups. In these notes we only review Kontsevich's formality theorem.

研究の動機と目的

• 変形量子化の文脈におけるコンツェビッチの形式性定理の自己完結的導入を提供すること。
• 任意のポアソン多様体に対して標準的な変形量子化の存在を確立すること。
• 高次ホモトピーを介してホッフシュィルト＝コスタント＝ローゼンバーグ同型を完全な形式性定理に拡張する役割を明確にすること。
• ホッフシュィルト＝コスタント＝ローゼンバーグ同型を、高次ホモトピーを通じて完全な形式性定理に接続すること。

提案手法

• 滑らかな多様体 $M$ 上の多項ベクトル場および多微分作用素の微分付きリ代数（DGLA）を用いる。
• ホッフシュィルト＝コスタント＝ローゼンバーグの定理を適用し、これらのDGLAのコホロロジーの間の準同型を確立する。
• 成分 $K_1$ がHKR写像と一致する $L_∞$-準同型 $K: \mathfrak{g}_S^\bullet(M) \to \mathfrak{g}_G^\bullet(C^\infty(M))$ を構成する。
• DGLAフレームワークにおけるモーラー＝カルタン方程式を用いて、形式的ポアソン構造と星積の分類を行う。
• $L_∞$-準同型定理を適用し、モジュライ空間 $M(\mathfrak{g}_S^\bullet(M))$ と $M(\mathfrak{g}_G^\bullet(C^\infty(M)))$ の間の全単射を誘導する。
• 形式的べき級数 $\hbar$ を用いて星積と変形のゲージ同値類を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな関数の代数に、どのようにして一貫して星積を構成できるか。
• RQ2 ホッフシュィルト＝コスタント＝ローゼンバーグ同型は、完全な形式性定理への拡張において果たす役割は何か。
• RQ3 $L_\infty$-準同型は、どのようにしてポアソン構造と星積の間の対応を誘導するか。
• RQ4 モーラー＝カルタンモジュライ空間の分類的意義は何か。

主な発見

• コンツェビッチの形式性定理は、滑らかな多様体上の多項ベクトル場のDGLAと多微分作用素のDGLAの間の標準的な $L_\infty$-準同型を確立する。
• 形式性写像の成分 $K_1$ はホッフシュィルト＝コスタント＝ローゼンバーグの準同型と一致し、多項ベクトル場のコホロロジーとホッフシュィルトコホロロジーを結ぶ。
• $L_\infty$-準同型は、形式的ポアソン構造のモジュライ空間と $C^\infty(M)$ 上の星積のモジュライ空間の間の全単射を誘導する。
• この対応により、任意のポアソン多様体が星積による標準的な変形量子化を有することを証明する。
• 星積の分類は、ゲージ同値を除いて、形式的ポアソン双ベクトルの分類に等しい。
• 形式的ポアソン構造の同値類 $\pi_\hbar$ と $C^\infty(M)$ 上の星積の同型類の間の1対1対応が実現される。