[論文レビュー] Lectures on deformations of complex manifolds

Marco Manetti|ArXiv.org|Jul 14, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用数 54

ひとこと要約

本論文は、微分的可換Lie代数（DGLA）および$L_\infty$-代数を用いた、コンpact複素多様体の変形理論について、包括的かつ自己完結的な入門を提供する。DGLAを用いた変形の基礎的な枠組みを確立し、ボゴモロフ＝ティアン＝トドロフの定理によりCalabi-Yau多様体の非遮断性を証明するとともに、$L_\infty$-準同型を用いた代数的証明によりクレメンス＝ランの定理を提示する。

ABSTRACT

This paper is based on a course given by the author at the University of Rome ``La Sapienza'' in the Academic year 2000/2001. The intended aim of the course was to rapidly introduce, although not in an exhaustive way, the non-expert PhD student to deformations of compact complex manifolds, from the very beginning to some recent (i.e. at that time not yet published) results. The goal of these lectures is to give a soft introduction to extended deformation theory. In view of the aim (and the hope) of keeping this paper selfcontained, user friendly and with a tolerating number of pages, we consider only deformations of compact complex manifolds. Anyhow, most part of the formalism and of the results that we prove here will apply to many other deformation problems.

研究の動機と目的

• 非専門家を対象とした博士課程学生向けに、拡張された変形理論へのやわらかくアクセスしやすい入門を提供すること。
• 微分的可換Lie代数（DGLA）の枠組みを通じて、さまざまな数学的対象における共通の構造的特徴を強調し、変形理論を統一すること。
• 変形函子とDGLAとの関係を確立し、より一般的な変形問題へとその枠組みを$L_\infty$-代数へと拡張すること。
• ティアン＝トドロフ補題とDGLA技術を用いて、Calabi-Yau多様体の非遮断性を証明すること。
• クレメンス＝ランの定理における障害が環境コホモロジーを消滅させることを、$L_\infty$-準同型を用いて代数的に証明すること。

提案手法

• 変形理論の基礎的代数的構造として、微分的可換ベクトル空間およびdg代数を用いる。
• DGLAに付随する変形函子を導入し、指数関数およびバーキンソン＝キャンベル＝ハウスドルフの公式を用いてそのホモトピー不変性を証明する。
• DGLAの文脈において逆関数定理を適用し、変形の障害を分析する。
• 対称化されたコデリバティブとデカルージュ操作を用いて、DGLAから$L_\infty$-代数への$L_\infty$-準同型を構成する。
• 多ベクトル場上のゲルステンハーバー＝バタリン＝ヴィルコビスキー（GBV）代数構造を用いて、変形複体を分析する。
• 縮約写像とフォーマリティ定理を用いて、コホモロジー類と変形不変量（特にCalabi-Yauの場合）との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体の変形理論は、どのようにDGLAを用いて一様に記述できるか？
• RQ2 $L_\infty$-代数は、古典的な変形函子を一般化・簡略化するために果たす役割は何か？
• RQ3 なぜCalabi-Yau多様体はその変形空間で非遮断的なのか？
• RQ4 変形の障害は、クレメンス＝ランの定理のように、環境コホモロジーとどのように作用するのか？
• RQ5 Kodaira-Spencer複体から多ベクトル場複体への$L_\infty$-準同型の構成にどのような意味があるのか？

主な発見

• Calabi-Yau多様体の非遮断性は、ティアン＝トドロフ補題およびホロモーフィック体積形式下でのKodaira-Spencer複体の2次コホモロジーの消滅に起因する。
• 線形項$F_1$を有する$L_\infty$-準同型$\Theta: (C(KS_X), \delta) \to (C(M_X[-1]), 0)$が構成され、変形複体が$L_\infty$の意味でフォーマルであることが証明された。
• $L_\infty$-準同型の合成がホロモーフィック体積形式$\Omega$における評価と組み合わせると、$\bigodot^m\{a \in L \mid \partial(a \vdash \Omega) = 0\}$上で消えることが確認され、クレメンス＝ランの障害条件が裏付けられた。
• Calabi-Yau多様体の非遮断性の証明は代数的であり、多ベクトル場上の$d$-ゲルステンハーバー代数構造とフォーマリティ定理に依存している。
• $L_\infty$-準同型$\Theta$は$F \circ \delta = 0$を満たしており、これは有効な$L_\infty$-準同型であることを確認する。主な恒等式は対称化およびコデリバティブの恒等式により検証された。
• $F_m$による$L_\infty$-準同型の構成と、 Koszulの符号規則およびアンシャッフル写像の使用により、DGLA構造を高次ホモトピー代数に持ち上げる体系的な方法が得られた。