[論文レビュー] Lectures on Elliptic Functions and Modular Forms in Conformal Field Theory

Nikolay Nikolov, Иван Тодоров|ArXiv.org|Dec 13, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 47被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、偶数次元時空におけるグローバルに conformal 不変 (GCI) な量子場理論における有限温度相関関数が、モジュラー不変性を示す二重周期的楕円関数であることを確立する。これは2次元チラル CFT におけるそれらの性質と類似したモジュラー不変性を持つ。また、4次元 CFT における熱エネルギー密度の高温漸近的挙動がモジュラー変換によって支配されることを示し、コンformal Lie 代数の実現とクリフォード代数に基づく頂点代数の枠組みを通じて、2次元 CFT に限らない高次元へのモジュラー形式の役割の拡張を実現する。

ABSTRACT

A concise review of the notions of elliptic functions, modular forms, and theta-functions is provided, devoting most of the paper to applications to Conformal Field Theory (CFT), introduced within the axiomatic framework of quantum field theory. Many features, believed to be peculiar to chiral 2D (= two dimensional) CFT, are shown to have a counterpart in any (even dimensional) globally conformal invariant quantum field theory. The treatment is based on a recently introduced higher dimensional extension of the concept of vertex algebra.

研究の動機と目的

• 偶数次元のグローバルに conformal 不変な量子場理論における熱的相関関数が、モジュラー不変性を持つ楕円関数であることを確立すること。
• 2次元チラル CFT にのみ関連するとされていたモジュラー形式およびシータ関数の役割を2次元を超えて拡張すること。
• 4次元 CFT における熱エネルギー密度の高温漸近的挙動がモジュラー変換によって支配されることを示すこと。
• スピン(2r,2)およびクリフォード代数の実現を用いて、 conformal field theory の頂点代数枠組みを高次元に一般化すること。

提案手法

• ミンコフスキー時空における量子場理論の公理的枠組みを用い、チューブ領域における解析性を定義することで conformal 不変性を定式化する。
• conformal compactification と conformal Lie 代数 so(D,2) を用いて、偶数次元時空における対称性を記述する。
• GCI QFT をモデル化するための頂点代数の高次元拡張を構築し、強い局所性と有理型性を組み込む。
• スピン(D,2)およびその中心を用いて、クリフォード代数の実現を用いてユニタリ表現を分類し、エネルギー平均を計算する。
• モジュラーパラメータ τ = iβ/2π における SL(2,Z) の作用を用いて、熱的相関関数のモジュラー性質を導出し、高温と低温の領域を結ぶ。
• イーゼンスタイン級数およびシータ関数を用いてモジュラー形式を表現し、S および T 変換における変換性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元チラル CFT を超えて、偶数次元時空における熱的相関関数のモジュラー不変性および楕円関数的構造を一般化できるか？
• RQ2 4次元 CFT における conformal ハミルトニアンの熱的平均値のモジュラー性はどのように現れるか？
• RQ3 頂点代数の枠組みは、2次元チラル CFT 構造を高次元 GCI QFT へ拡張するために果たす役割は何か？
• RQ4 conformal 群 SO(D,2) 及びその二重被覆 Spin(D,2) の表現は、熱的相関関数のモジュラー性をどのように符号化するか？
• RQ5 Spin(D,2) の中心に存在する価数要素が、エネルギー平均のモジュラー変換に与える影響は何か？

主な発見

• 偶数次元 GCI QFT における熱的相関関数が、2次元 CFT の場合に一般化された二重周期的楕円関数であることが示された。
• 4次元の有理的 CFT のスーパeselection セクターにおけるエネルギー平均は、SL(2,Z) における重み 2 のモジュラー形式として変換し、2次元の結果を拡張した。
• 4次元 CFT における熱エネルギー密度の高温漸近的挙動は、モジュラー反転 S: τ → -1/τ を用いて導出され、低温挙動と結びつけられた。
• コンフォーマル Lie 代数 so(D,2) 及びそのスピン二重被覆 Spin(D,2) のクリフォード代数による実現を通じて、頂点代数枠組みが高次元に拡張された。
• Spin(D,2) の中心には、ユニタリ表現上で (-1)^{2d} の作用を示す価数要素 v = -I が存在し、これがエネルギー平均のモジュラー変換における符号を決定する。
• D=4 の場合、価数要素の表現 U_d;j1,j2(v) = (-1)^{2d} は、エネルギー平均のモジュラー変換挙動を確認し、重み 2 のモジュラー形式と整合的である。