[論文レビュー] Lectures on Groups of Symplectomorphisms

Dusa McDuff|ArXiv.org|Jan 6, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 48被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{C}P^2$ や $S^2 \times S^2$ を含む閉じたシンプレクティック 4-多様体上のシンプレクティズム群とハミルトニアン群の位相的・幾何的性質を、$J$-擬正則曲線の技法と $S^2$ 上のハミルトニアンファイブレーションを用いて調査する。Seidel表現とグロモフ・ウィッテン不変量を用いてホーファー距離における長さ最小化経路の存在を確立し、シンプレクティック位相幾何学における主要な正則性問題を解決する。

ABSTRACT

These notes combine material from short lecture courses given in Paris, France, in July 2001 and in Srni, the Czech Republic, in January 2003. They discuss groups of symplectomorphisms of closed symplectic manifolds (M,\om) from various points of view. Lectures 1 and 2 provide an overview of our current knowledge of their algebraic, geometric and homotopy theoretic properties. Lecture 3 sketches the arguments used by Gromov, Abreu and Abreu-McDuff to figure out the rational homotopy type of these groups in the cases M= CP^2 and M=S^2 imes S^2. We outline the needed J-holomorphic curve techniques. Much of the recent progress in understanding the geometry and topology of these groups has come from studying the properties of fibrations with the manifold M as fiber and structural group equal either to the symplectic group or to its Hamiltonian subgroup Ham(M). The case when the base is S^2 has proved particularly important. Lecture 4 describes the geometry of Hamiltonian fibrations over S^2, while Lecture 5 discusses their Gromov-Witten invariants via the Seidel representation. It ends by sketching Entov's explanation of the ABW inequalities for eigenvalues of products of special unitary matrices. Finally in Lecture 6 we apply the ideas developed in the previous two lectures to demonstrate the existence of (short) paths in Ham(M,\om) that minimize the Hofer norm over all paths with the given endpoints.

研究の動機と目的

• 閉じたシンプレクティック 4-多様体、特に $\mathbb{C}P^2$ と $S^2 \times S^2$ 上のシンプレクティズム群の有理ホモトピー型を理解すること。
• $S^2$ 上のハミルトニアンファイブレーションの幾何と、Seidel表現によるグロモフ・ウィッテン不変量との関係を分析すること。
• シンプレクティックファイブレーションと非圧縮性の議論を用いて、ホーファーノルム下でのハミルトニアン群 $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 内の長さ最小化経路の存在を示すこと。

提案手法

• $M = \mathbb{C}P^2$ および $S^2 \times S^2$ に対して、$J$-擬正則曲線の技法を用いて $\mathrm{Symp}(M,\omega)$ の有理ホモトピー型を計算する。
• Seidel表現 $\mathcal{S}$ を用いて、$S^2$ 上のハミルトニアンファイブレーションの量子ホモロジーと構造群の位相を関連付ける。
• 評価論とグロモフ・ウィッテン不変量を用いて、シンプレクティックファイブレーションの面積を推定し、埋め込み球の半径を制約する。
• 量子ホモロジー代数における恒等式 $\mathcal{S}(\lambda) * \mathcal{S}(-\lambda) = \mathbf{1}$ を用いて、固有値と曲率に関する不等式を導出する。
• 特別なユニタリ行列の積の固有値に関する ABW 不等式を用いて、Seidel表現の構造を制約する。
• 小面積ファイブレーションにおける非圧縮定理と Seidel 表現を組み合わせ、$\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 内の長さ最小化経路の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $M = \mathbb{C}P^2$ および $M = S^2 \times S^2$ の場合、シンプレクティズム群 $\mathrm{Symp}(M,\omega)$ の有理ホモトピー型は何か？
• RQ2 $S^2$ 上のハミルトニアンファイブレーションのグロモフ・ウィッテン不変量は、Seidel 表現と量子ホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 シンプレクティックファイブレーションと $J$-擬正則曲線の技法を用いて、ホーファー距離における $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 内の長さ最小化経路の存在を確立できるか？
• RQ4 ABW 不等式は、量子ホモロジー代数における Seidel 表現の固有値にどのような制約を課えるか？
• RQ5 $S^2$ 上のハミルトニアンファイブレーションの面積は、埋め込み球の存在と Seidel 表現の間でどのように関係するか？

主な発見

• $J$-擬正則曲線の技法を用いて、$M = \mathbb{C}P^2$ および $M = S^2 \times S^2$ に対して $\mathrm{Symp}(M,\omega)$ の有理ホモトピー型が計算された。
• Seidel 表現 $\mathcal{S}$ は、ファイブレーションの量子ホモロジーと構造群の位相を関連付ける強力な道具である。
• 面積が $\hbar/2$ 未満のファイブレーションに対して、重み $\kappa_0$ の良いセクションが存在するならば、任意の半径 $r$ の埋め込み球について $\pi r^2 \leq \mathrm{area}(P,\Omega) - \kappa_0$ が成り立つ。
• 恒等式 $\mathcal{S}(\lambda) * \mathcal{S}(-\lambda) = \mathbf{1}$ は $\kappa(\lambda) = -\kappa(-\lambda)$ を意味し、逆方向のループに対応する Seidel 要素を結びつける。
• ABW 不等式は、量子コホモロジーを介して Seidel 表現に関連する特別なユニタリ行列の積の固有値を制約するのに用いられた。
• 小面積ファイブレーションにおける非圧縮性と Seidel 表現を組み合わせることで、$\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 内の長さ最小化経路の存在が証明された。