[論文レビュー] Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry

Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ハウスドルフおよびグロモフ–ハウスドルフ距離幾何について、大学院レベルの包括的紹介を提供しており、距離幾何の基礎を築くために位相空間論および距離空間論を設ける。その後、グロモフ–ハウスドルフ収束の理論とその応用を展開する。主な貢献は、有限グラフにおけるクリーク被覆数および彩色数を、メトリック単体へのグロモフ–ハウスドルフ距離を用いて特徴づける新規な方法であり、幾何的距離測度を用いたアルゴリズム的計算を可能にする。

ABSTRACT

The course was given at Peking University, Fall 2019. We discuss the following subjects: (1) Introduction to general topology, hyperspaces, metric and pseudometric spaces, graph theory. (2) Graphs in metric spaces, minimum spanning tree, Steiner minimal tree, Gromov minimal filling. (3) Hausdorff distance, Vietoris topology, Limits theory, inheritance of completeness, total boundedness, compactness by hyperspaces. (4) Gromov-Hausdorff distance, triangle inequality, positive definiteness for isometry classes of compact spaces, counterexample for boundedly compact spaces. (5) Gromov-Hausdorff distance for separable spaces in terms of their isometric images in \ell_\infty, correspondences, Gromov-Hausdorff distance in terms of correspondences. (6) Epsilon-isometries and Gromov-Hausdorff distance. (7) Irreducible correspondences and Gromov-Hausdorff distance. (8) Gromov-Hausdorff convergence, inheritance of metric and topological properties while Gromov-Hausdorff convergence. (9) Gromov-Hausdorff space (GH-space), optimal correspondences, existence of closed optimal correspondences for compact metric spaces, GH-space is geodesic. (10) Cover number, packing number, total boundedness, completeness, and separability of GH-space. (11) mst-spectrum in terms of GH-distances to simplexes, Steiner problem in GH-space. (12) GH-distance to simplexes with more points, GH-distance to simplexes with at most the same number of points. (13) Generalized Borsuk problem, solution of Generalized Borsuk problem in terms of GH-distances, clique covering number and chromatic number of simple graphs, their dualities, calculating these numbers in terms of GH-distances.

研究の動機と目的

• 一般位相空間、距離空間、曲線論の厳密かつ自己完結的な導入を通じ、距離幾何の基礎を築くこと。
• コンパクトおよび完備距離空間におけるハウスドルフおよびグロモフ–ハウスドルフ距離の理論を発展させること。
• コンパクト距離空間のグロモフ–ハウスドルフ空間における測地的性質および完備性を確立すること。
• グロモフ–ハウスドルフ距離を用いて、特にクリーク被覆および彩色数の計算というグラフ理論の古典的問題を解決すること。

提案手法

• 部分空間、積、商、ヴェトリス位相といった標準的な位相的構成と、距離空間への埋め込みを用いて収束性およびコンパクト性を定義・分析する。
• コンパクト部分集合のハイパースペース上のハウスドルフ距離を定義し、完備およびコンパクト距離空間における極限定理を証明する。
• 不可約対応を用いてグロモフ–ハウスドルフ距離を定義し、コンパクト距離空間間における最適対応の存在を証明する。
• アーヴェラ–アスcoliの定理およびホフプ–リノウ条件を用いて、距離空間内での最短曲線および測地線の存在を確立する。
• 隣接頂点間に距離 $a$、非隣接頂点間に $b > a$ を割り当てることで、有限グラフに距離構造を定義し、グラフのクリークを直径の小さい部分集合に関連付ける。
• 定理8.7を用いて、Gromov–Hausdorff距離 $2d_{GH}(a\Delta_k, V)$ と、$V$ を直径 $\operatorname{diam}V$ 未満の部分集合で被覆するのに必要な最小数の関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限距離空間に対して、直径が厳密に小さい部分集合の最小数を被覆するために、グロモフ–ハウスドルフ距離をどのように用いることができるか。
• RQ2 有限距離空間から単体へのグロモフ–ハウスドルフ距離と、関連するグラフのクリーク被覆数との関係は何か。
• RQ3 グラフの彩色数は、メトリック単体へのグロモフ–ハウスドルフ距離を用いて計算可能か。
• RQ4 コンパクト距離空間のグロモフ–ハウスドルフ空間が測地的または完全有界となる条件は何か。
• RQ5 有限距離空間の $\operatorname{mst}$-スペクトルは、単体へのグロモフ–ハウスドルフ距離とどのように関係するか。

主な発見

• 有限単純グラフ $G$ のクリーク被覆数 $\theta(G)$ は、$m+1$ に等しく、ここで $m$ は $2d_{GH}(a\Delta_k, V) = b$ を満たす最大の整数 $k$ であり、$a < b \leq 2a$ を満たす。
• 隣接頂点に距離 $a$、非隣接頂点に $b > a$ を割り当てる有限グラフ $G$ に対して、$\theta(G) = m+1$ であり、ここで $m$ は $2d_{GH}(a\Delta_k, V) = b$ を満たす最大の $k$ である。
• グラフ $G$ の彩色数 $\gamma(G)$ は、$m+1$ に等しく、ここで $m$ は距離を逆転させた場合（隣接頂点に $b$、非隣接頂点に $a$）で $2d_{GH}(a\Delta_k, V) = b$ を満たす最大の $k$ である。
• コンパクト距離空間のグロモフ–ハウスドルフ空間は完備かつ分離可能であり、測地的である。つまり、任意の二つのコンパクト距離空間は最小化測地線で結ばれる。
• 有限距離空間の $\operatorname{mst}$-スペクトルは、単体へのグロモフ–ハウスドルフ距離を用いて計算可能であり、組合せ最適化と距離幾何を結ぶ。
• 有限距離空間 $X$ が直径 $d$ を持つとき、$X$ が $m$ 個の直径が厳密に小さい部分集合に分割できないことは、$\lambda = d/2$ に対して $2d_{GH}(\lambda\Delta_m, X) = d$ であることと同値である。