[論文レビュー] Lectures on instantons

Stefan Vandoren, P. van Nieuwenhuizen|ArXiv.org|Feb 13, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 80被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、4次元（超）ヤン・ミルズ理論および量子力学におけるインスタントンについて、包括的で自己完結的な入門を提供する。SU(2)およびSU(N)ゲージ群に対する正則および特異的1インスタントン解を導出し、インデックス定理を用いてボソン的およびフェルミオン的ゼロモードを分析し、インスタントン経路積分測度を計算するとともに、これらを用いて強いCP問題、U(1)問題、および量子場の理論におけるトンネル効果を解明する。

ABSTRACT

This is a self-contained set of lecture notes on instantons in (super) Yang-Mills theory in four dimensions and in quantum mechanics. First the basics are derived from scratch: the regular and singular one-instanton solutions for Yang-Mills theories with gauge groups SU(2) and SU(N), their bosonic and fermionic zero modes, the path integral instanton measure, and supersymmetric Yang-Mills theories in Euclidean space. Then we discuss applications: the θ-angle of QCD, the solution of the U(1) problem, the way Higgs fields solve the large-instanton problem, and tunneling and phase transitions in quantum mechanics and in nonabelian gauge theories. These lecture notes are an extension of a review on Yang-Mills and D-instantons written in 2000 by both authors and A.Belitsky

研究の動機と目的

• 非アーベルゲージ理論におけるインスタントン解およびその性質の教育的で自己完結的な導出を提供すること。
• 集団座標、ゼロモード、および経路積分測度がインスタントン計算において果たす役割を説明すること。
• インスタントン技法を用いて、強いCP問題やU(1)問題といった量子色力学における基本的問題を解明すること。
• ユークリッド時空におけるコンフォーマル対称性、ゲージ不変性、およびインスタントン解の構造との相関を調査すること。

提案手法

• ユークリッド空間における自己双対性方程式を用いて、SU(2)およびSU(N)ゲージ群の正則および特異的1インスタントン解を導出する。
• インデックス定理を適用して、インスタントン背景周りのボソン的およびフェルミオン的ゼロモードを分類する。
• 集団座標の統合を用いてインスタントン測度を計算し、ボソン的およびフェルミオン的モジュライを含む。
• ローレンツ群のスピノルおよびベクトル表現を用いて、明示的なゼロモード波動関数を構成する。
• コンフォーマル変換の下でのインスタントンの振る舞いを分析し、コンフォーラルブーストと特定のゲージ変換の組み合わせがインスタントンのゲージポテンシャルおよび場強度を不変に保つことを示す。
• 形式的体系を用いて、N=4超対称ヤン・ミルズ理論における1ループ行列式および正確なβ関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(N)ヤン・ミルズ理論において、正則および特異的インスタントン解はどのように生じるのか。また、それらの位相的構造は何か。
• RQ2 ゼロモード（ボソン的およびフェルミオン的）がインスタントン経路積分において果たす正確な役割は何か。また、インデックス定理を用いてそれらはどのように数えられるか。
• RQ3 ヒッグス場の導入は、QCDにおける大インスタントン問題をどのように解消するか。
• RQ4 インスタントンは、量子力学および非アーベルゲージ理論における真空間のトンネル効果をどのように媒介するか。
• RQ5 コンフォーマル対称性およびゲージ不変性は、インスタントン解の構造およびそのモジュライ空間にどのように制約を加えるか。

主な発見

• SU(2)の1インスタントン解は't Hooftのアンザッツを用いて明示的に構成され、有限な作用と明確に定義された巻き数を持つ。
• ボソン的ゼロモードは集団座標に対応する：位置、スケール、ゲージの向き。モジュライ空間の体積は付録Cで計算されている。
• フェルミオン的ゼロモードの数はディラック作用素のインデックスに等しく、スピン表現を用いて明示的に構成されている。
• インスタントンの経路積分測度は、すべての集団座標の統合を用いて導出され、ゼロモードの正規化からのヤコビアン因子が含まれる。
• コンフォーラルブーストと特定のゲージ変換の組み合わせは、インスタントンの場強度およびゲージポテンシャルを不変に保ち、コンフォーラル対称性が追加のゼロモードを生成しないことを示している。
• N=4 SYM理論では、正確なβ関数が0に計算され、理論の量子レベルにおける有限性およびコンフォーラル不変性が確認された。