[論文レビュー] Lectures on Integrable Structures in Quantum Field Theory and Massive ODE/IM Correspondence

Stefano Negro|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 52被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、可積分量子場理論における可換な転送 $T$-演算子とバクスター $Q$-演算子を構成するための、量子逆散乱法の場理論的実装である BLZ 法を提示する。この手法は、それらの演算子と熱力学的ベーテアンザッツ（TBA）および非線形積分方程式（NLIEs）の間の直接的な関係を確立し、CFT の質量項を含む変形へと枠組みを拡張し、スペクトル行列式と量子ワロンスキー関係を介して質量項を含む ODE/IM 対応との深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

This review was born as notes for a lecture given at the YRIS school on integrability in Durham, in the summer of 2015. It deals with a beautiful method, developed in the mid-nineties by V.V. Bazhanov, S.L. Lukyanov and A.B. Zamolodchikov and, as such, called BLZ. This method can be interpreted as a field theory version of the quantum inverse scattering (QIS), also known as algebraic Bethe ansatz (ABA). Starting with the case of conformal field theories (CFT) we show how to build the field theory analogues of commuting transfer T matrices and Baxter Q-operators of integrable lattice models. These objects contain the complete information of the integrable structure of the theory, viz. the integrals of motion, and can be used, as we will show, to derive the thermodynamic Bethe ansatz (TBA) and non-linear integral (NLIE) equations. This same method can be easily extended to the description of integrable structures of certain particular massive deformations of CFTs; these, in turn, can be described as quantum group reductions of the quantum sine-Gordon model and it is an easy step to include this last theory in the framework of BLZ approach. Finally we show an interesting and surprising connection of the BLZ structures with classical objects emerging from the study of classical integrable models via the inverse scattering transform method. This connection goes under the name of ODE/IM correspondence and we will present it for the specific case of quantum sine-Gordon model only.

研究の動機と目的

• 可積分量子場理論における構造を構成するための BLZ 法の統一的かつアクセス可能な解説を提供すること。
• 格子模型から連続場理論、特に conformal および質量項を含む可積分場理論への代数的ベーテアンザッツ枠組みの拡張すること。
• ODE/IM 対応を通じて、量子場理論の演算子と古典的スペクトル問題の間の明確な対応を確立すること。
• $T$-および $Q$-演算子が、保存量や TBA/NLIE 方程式を含む完全な可積分構造をどのように生成するかを示すこと。
• サイン・ゴルドン模型におけるスペクトル行列式の解析的および代数的性質を明らかにし、それらが量子 $T$-関数とどのように特定されるかを明確にすること。

提案手法

• 量子モノドロミー行列とスピンパラメータに依存する転送行列を用いて、$T$-演算子および $Q$-演算子の場理論的類似物を構築する。
• 共形場理論における $T$-および $Q$-演算子の代数的関係から、$T$-系および $Y$-系を導出する。
• BLZ 法を $ heta_{(1,3)}$-変形 CFT および量子サイン・ゴルドン模型に適用し、関連する $T$-および $Q$-演算子を同定する。
• 量子 $Q$-演算子を修正されたシヌ・ゴルドン方程式の線形問題の解と関係づけることで、質量項を含む ODE/IM 対応を確立する。
• 量子ワロンスキー関係を用いて、$Q_{/pm}$ を用いた $T$-関数の表現を導出し、$T$-系との整合性を確認する。
• 解析的接続と関数的性質の一致を用いて、線形問題のスペクトル行列式を、量子サイン・ゴルドン模型の $T$-関数と特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子逆散乱法は、格子模型から連続量子場理論へどのように適応可能か？
• RQ2 共形場理論および質量項を含む可積分場理論における $T$-および $Q$-演算子の正確な場理論的実装は何か？
• RQ3 $T$-および $Q$-演算子は、どのようにして熱力学的ベーテアンザッツおよび非線形積分方程式を生成するか？
• RQ4 量子場理論の可積分構造と古典的線形ODEとの間の関係は何か、ODE/IM 対応を通じて？
• RQ5 線形問題のスペクトル行列式は、サイン・ゴルドン模型における量子 $T$-関数とどのように関係するか？

主な発見

• BLZ 法は、共形場理論における $T$-および $Q$-演算子を効果的に構成でき、それらはすべての保存量を含む完全な可積分構造を符号化している。
• $T$-系および $Y$-系は、$T$-および $Q$-演算子の代数的関係から自然に導かれるため、熱力学的ベーテアンザッツ方程式への直接的な道筋が得られる。
• 局所的および非局所的保存量の非線形積分方程式（NLIEs）は、$Q$-演算子のスペクトル表現および積分変換を介して導出される。
• 質量項を含む ODE/IM 対応は、量子 $Q$-演算子を修正されたシヌ・ゴルドン方程式の線形問題のスペクトル行列式と特定することで実現される。
• 量子サイン・ゴルドン模型の $T$-関数は、量子ワロンスキー関係を介して $Q$-演算子から明示的に再構成され、$T$-系との整合性が確認された。
• スペクトル行列式の解析的構造は、$k$-真空における $ ilde{b{T}}_j$ 演算子の固有値と完全に一致し、両フレームワークの完全な同定が可能になった。