[論文レビュー] Lectures on Lie groups over local fields

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ウィルスの理論を通じた自己同型の力学的性質に注目して、局所体上のリー群について包括的な導入を提供する。$p$-進および正の特性のリー群に対して、スケール、テディ部分群、収縮群を展開し、古典的手法が失敗するが、新しい技術が求められるより複雑な正の特性設定において、主要な結果について詳細な分析と証明を行う。

ABSTRACT

These are the lecture notes of a 2-hour mini-course on Lie groups over local fields presented at the "Workshop on Totally Disconnected Groups, Graphs and Geometry" at the Heinrich-Fabri-Institut Blaubeuren in May 2007. The goal of the notes is to provide an introduction to p-adic Lie groups and Lie groups over fields of formal Laurent series, with an emphasis on relations to the structure theory of totally disconnected, locally compact groups. In particular, they contain a discussion of the scale, tidy subgroups and contraction groups for automorphisms of Lie groups over local fields. Special attention is paid to the case of Lie groups over local fields of positive characteristic.

研究の動機と目的

• 局所体上のリー群の自己同型について、スケール、テディ部分群、収縮群の理論を構築すること、特に $p$-進および正の特性の場合に焦点を当てる。
• 完全不連続的かつ局所コンパクトな群のウィルス理論を、局所体上のリー群の設定へと拡張し、構造的および力学的性質に注目すること。
• 正の特性において生じる課題に取り組むこと。ここでは標準的な $p$-進技術が機能せず、新たな解析的道具が必要となる。
• リー群が完全不連続的かつ局所コンパクトな群の構造理論全体において果たす役割を明確にすること、特にプロ離散的およびタイプ $R$ の群との関係において。
• 中心的な結果について、特にあまり調べられていない正の特性ケースにおいて、詳細な証明のスケッチを含む自己完結的な解説を提供すること。

提案手法

• 局所体上の有限次元ベクトル空間上の線形自己同型を基礎的ステップとして分析し、その後一般化してリー群へと拡張する。
• ウィルスのスケールおよびテディ部分群理論を $p$-進リー群に適用し、リー代数と指数写像を用いて自己同型を研究する。
• 正の特性をもつ局所体上のリー群へ理論を拡張する。ここでは、標準的位相の欠如および非アルキメデス解析の制限により、新たな道具が必要となる。
• 不変多様体理論および非線形解析の技術を用いて、正の特性における自己同型の力学を研究する。
• レヴィ因子およびリー代数の構造論を用いて、自己同型の振る舞いとその収縮群を分析する。
• グリゴルチュク群を用いた反例の構成により、コンパクト生成かつユニスカラな群が必ずしもプロ離散的でないことを示し、追加の条件の必要性を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-進リー群の自己同型について、スケール、テディ部分群、収縮群はどのように振る舞い、それらの代数的および位相的構造はどのようなものか？
• RQ2 ウィルス理論を正の特性をもつ局所体上のリー群へ拡張するにあたり、どのような新たな課題が生じ、それを克服するためにはどのような道具が必要か？
• RQ3 コンパクト生成リー群が局所体上にあってプロ離散的であるための条件は何か？ そしてこれはユニスカラおよびタイプ $R$ の性質とどのように関係するか？
• RQ4 内自己同型の収縮群 $U_\alpha$ の構造は代数的に特徴付け可能か？ また、いつそれが自明になるか？
• RQ5 リー群が、一般の完全不連続的かつ局所コンパクトな群の構造理論において、どの程度の構成的ブロックとして機能するか？

主な発見

• 局所体上の解析的リー群 $G$ 及び解析的自己同型 $\alpha$ に対して、スケール $s_G(\alpha) = 1$ であることは、$L(\alpha)$ のすべての固有値の絶対値が 1 であることと同値である。
• 半直積 $G = \mathbb{F}_2((X)) \rtimes H$ において、$H$ をグリゴルチュク群とするとき、内自己同型 $\alpha_g$ の収縮群 $U_\alpha$ は自明である。
• $G = \mathbb{F}_2((X)) \rtimes H$ はコンパクト生成、完全不連続、局所コンパクト、かつねじれをもつが、プロ離散的でない。これは、ユニスカラかつコンパクト生成であっても、プロ離散的とは限らないことを示している。
• 局所体上にあってタイプ $R$ のコンパクト生成解析的リー群はプロ離散的である。これは [37] および [21] の結果を一般化する。
• $G = \mathbb{F}_2((X)) \rtimes H$ の任意の単位近傍には、コンパクトで開かつ $g$-不変な部分群が存在するが、コンパクトで開かつ正規な部分群は存在しない。
• スケール $s_G(\alpha) = s_G(\alpha^{-1}) = 1$ が成り立つのは、$U_\alpha$ が閉かつ $L(\alpha)$ のすべての固有値の絶対値が 1 であるときであり、かつそのときに限る。これは $p$-進の場合における重要な特徴づけを確立する。