[論文レビュー] Lectures on maximal monotone operators

R. R. Phelps|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 1993

Holomorphic and Operator Theory被引用数 71

ひとこと要約

この論文は、実バナッハ空間における最大単調作用素について、自己完結的な導入を提供し、その基礎的性質と構造的差異に焦点を当てる。特に、型(D)の最大単調作用素と局所的最適単調作用素の違いに注目する。非反射的状況におけるこれらのクラスの階層に関する重要な問いを解決するため、強制的（coercive）な型(D)の最大単調作用素が局所的最適単調作用素であることを証明する。

ABSTRACT

This is a 30 page set of lecture notes, in Plain TeX, which were prepared for and presented as a series of lectures (10 1/2 hours over two weeks) at the 2nd Summer School on Banach Spaces, Related Areas and Applications in Prague and Paseky, Czech Republic, during August, 1993. They consist of a largely self-contained exposition of both classical and recent basic facts about maximal monotone operators on Banach spaces, motivated in part by the goal of highlighting several fundamental properties of such operators which remain open questions in nonreflexive Banach spaces.

研究の動機と目的

• 任意の実バナッハ空間における最大単調作用素の包括的かつ自己完結的な基礎を確立し、反射性への依存を最小限に抑える。
• 異なる最大単調作用素のクラス、特に型(D)と局所的最適単調作用素の関係を明確化する。
• 型(D)の最大単調作用素のクラスが、局所的最適単調作用素のクラスを真に含むかどうかを調査する。
• 弱い範囲条件の下で、強制的（coercive）な型(D)の最大単調作用素が、必然的に局所的最適単調作用素であることを証明する。
• 特に、ある作用素が閉凸集合の指示関数の部分微分である場合に、最大単調作用素の和に関する未解決問題に取り組む。

提案手法

• ヘン・バナッハの定理とブロワーの不動点定理（補題1.7で使用）を含む、初等的な関数解析的道具を用いて、核心的性質を導出する。
• 作用素のグラフ $E \times E^*$ を用いて単調作用素および最大単調作用素を定義し、順序論的最適性条件に重点を置く。
• 変分不等式を用いて、距離射影と双対写像の単調性を特徴づける。
• 命題4.6の恒等式を用いて、凸結合における内積を関連づけ、局所的最適性の証明に不可欠な役割を果たす。
• 単調作用素の範囲外にある点が存在しないことを示すために、分離関数形（補題4.7を用いて）による背理法を用いる。
• 定理4.8で、密度と強制性の議論を適用し、$R(T)$ が稠密で $T$ が強制的であるならば、局所的最適性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型(D)の最大単調作用素のクラスは、局所的最適単調作用素のクラスを真に含むか？
• RQ2 どのような条件下で、最大単調作用素が局所的最適単調作用素であるか？
• RQ3 領域が内部で交差する場合、最大単調作用素と閉凸集合の指示関数の部分微分の和が、最大単調作用素であるか？
• RQ4 範囲条件 $R(T) = E^*$ または $\overline{R(T)} = E^*$ に加え、強制性がある場合、局所的最適性が成立するか？
• RQ5 型(D)の最大性と強制性を用いて、反射性を仮定せずに局所的最適性を導くことは可能か？

主な発見

• 強制的で型(D)の最大単調作用素は、補題4.9で示されるように、局所的最適単調作用素である。
• もし $R(T) = E^*$ ならば、定理4.8の第一ケースで示されるように、$T$ は局所的最適単調作用素である。
• もし $\overline{R(T)} = E^*$ かつ $T$ が強制的であるならば、定理4.8の第二ケースで示されるように、$T$ は局所的最適単調作用素である。
• 局所的最適性の証明は、背理法に依存している：点 $z^* \notin T(z)$ だが、単調性不等式を満たすと仮定すると、密度と強制性によってノルムの爆発が生じる。
• (4.1)式の恒等式は、単調性条件における凸結合の分析に不可欠であり、分離関数形の構成を可能にする。
• 第4.5節の例は、局所的最適単調作用素のクラスが、型(D)の最大単調作用素のクラスを真に超える可能性があることを示唆しているが、未解決のままである。