[論文レビュー] Lectures on modular forms and strings

Eric D’Hoker, Justin Kaidi|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、モジュラー形式およびその一般化（マッズ形式、モックモジュラー形式、モジュラー図式関数など）について、数学および弦理論における中心的役割に焦点を当て、包括的でアクセス可能な入門を提供する。複素解析、代数的幾何学、トーラス上の量子場理論の道具を用いて主要な結果を導出し、弦理論における双対性とブラックホール微状態の数え上げが、モジュラー不変性に根ざしていることを示している。

ABSTRACT

The goal of these lectures is to present an informal but precise introduction to a body of concepts and methods of interest in number theory and string theory revolving around modular forms and their generalizations. Modular invariance lies at the heart of conformal field theory, string perturbation theory, Montonen-Olive duality, Seiberg-Witten theory, and S-duality in Type IIB superstring theory. Automorphic forms with respect to higher arithmetic groups as well as mock modular forms enter in toroidal string compactifications and the counting of black hole microstates. After introducing the basic mathematical concepts including elliptic functions, modular forms, Maass forms, modular forms for congruence subgroups, vector-valued modular forms, and modular graph forms, we describe a small subset of the countless applications to problems in Mathematics and Physics, including those mentioned above.

研究の動機と目的

• 数学および理論物理学の研究者を対象に、自己完結的で厳密かつアクセス可能なモジュラー形式およびその一般化の入門を提供すること。
• 楕円関数、モジュラー群、ヘッケ理論といった数論の基礎的概念と、弦理論における高度な応用を橋渡しすること。
• S-duality（IIB弦理論におけるS双対性）およびモンテンケン＝オリーブ双対性といった主要な物理的双対性におけるモジュラー不変性の役割を明確にすること。
• スティーブンソン関数およびシエゴカーネルを用いて、トーラス上でのbc系およびスピン系の相関関数の明示的公式を導出し、それらがモジュラー性とどのように関連するかを示すこと。
• モジュラー図式関数、反復モジュラー積分、正則モジュラー形式との関係を確立し、特に弦摂動理論の文脈において検証すること。

提案手法

• 複素解析および格子論を用いて、楕円関数およびモジュラー形式の理論を体系的に展開し、ヴァイエルシュトラスおよびヤコビの楕円関数を含む。
• モジュラー群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ を用いてモジュラー不変性を導入し、アイゼンスタイン級数および $j$-不変量を主要な不変量として導出する。
• トーラス上での量子場系に理論を適用し、グリーン関数およびシエゴカーネルを用いて、bcおよびスピン系の行列式と相関関数を計算する。
• リーマン・シーゲル・シータ関数およびシーゲルモジュラー形式を用いて、相関関数の明示的表現を導出し、$\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z})$ を通じてモジュラー変換性を符号化する。
• モジュラー図式関数をモジュラー形式の反復積分として導入し、非正則アイゼンスタイン級数およびマッズ形式と関連付ける。
• モジュラー曲線上のラプラシアンのスペクトル分解を用いてマッズ形式を分析し、高ランク自動形式におけるその役割を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー形式およびその一般化（例：モックモジュラー形式、モジュラー図式関数）は、どのように自然に弦摂動理論に現れるのか？
• RQ2 トーラス上でのbc場およびスピン系の相関関数の正確なモジュラー変換性は何か？ そしてそれはどのようにシータ関数に符号化されるのか？
• RQ3 種数 $g$ のリーマン面におけるフェルミオン場のゼロモードは、 conformal field theory における相関関数の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 モジュラー図式関数と反復モジュラー積分との関係は何か？ また、それらは正則モジュラー形式とどのように関係するか？
• RQ5 高ランクモジュラー形式およびシーゲル・シータ関数は、カラビ＝ヤウのコンパクト化の幾何学およびブラックホールエントロピーの数え上げとどのように関連するか？

主な発見

• 種数 $g$ のリーマン面における $M$ 個の $b$-場および $M$ 個の $c$-場の相関関数は、モジュラー変換の下で $\widetilde{G}_M = \det(C\Omega + D)^{-1} G_M$ のように変換し、シンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z})$ を通じてモジュラー不変性が確認される。
• 偶数スピン構造の $n = \frac{1}{2}$ の場合、相関関数は $\langle b(z_1)\cdots c(w_1)\rangle = \det S_\delta(z_i, w_j)$ で与えられ、ここで $S_\delta$ はシエゴカーネルであり、別表現としてシータ関数の比が現れる。
• 奇数スピン構造の $n = \frac{1}{2}$ の場合、相関関数にはゼロモード寄与 $h_\nu(z)h_\nu(w)$ が含まれ、一般式はグリーン関数行列の小行列式の和を含む。
• $n = 1$ の場合、消えない最も単純な相関関数は $G_0 = \det \omega_I(z_i)$ であり、一般形は $G_M = \frac{\vartheta[D](\zeta|\Omega)}{Z} \cdot \frac{\prod_{i<j} E(z_i,z_j) \prod_{a<b} E(w_a,w_b)}{\prod_{i,a} E(z_i,w_a)}$ で与えられ、ここで $\zeta = \sum z_i - \sum w_a - (2n-1)\Delta$ である。
• $n \geq \frac{3}{2}$ の場合、完全にゼロモードによって飽和する正則な相関関数 $\langle b(z_1)\cdots b(z_\Upsilon)\rangle = \frac{\vartheta[\delta](\zeta|\Omega)}{Z} \cdot \prod_{a<b} E(z_a,z_b)^{-1} \prod_a \sigma(z_a)^{-1}$ が得られ、ここで $\Upsilon = (2n-1)(g-1)$ である。
• 1ループにおけるモジュラー図式関数は非正則アイゼンスタイン級数として特定され、2ループではモジュラー形式の反復積分として示され、多重ゼータ値およびモジュラー図式形式の理論と関連づけられる。