[論文レビュー] Lectures on Moduli Spaces of Elliptic Curves

Richard Hain|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、楕円曲線のモジュライ空間を用いて、オーロリズム、スタック、および関連する幾何学的・位相的概念を理解するためのアクセス可能な入門を提供する。モジュライ空間 $ olinebreak[4]\mathcal{M}_{1,1}$ とそのデリーニュ＝マクマーレンコンパクト化 $ olinebreak[4]\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ をオーロリズムとして構成し、モジュラー形式がホロモーフィック・バンドルのセクションとしてどのように現れるかを示し、それらのピカード群とホモトピー型を明示的かつ基本的な構成を通じて計算する。スタックの必要性は、明示的かつ基本的な構成を通じて動機づけられる。

ABSTRACT

These informal notes are an expanded version of lectures on the moduli space of elliptic curves given at Zhejiang University in July, 2008. Their goal is to introduce and motivate basic concepts and constructions (such as orbifolds and stacks) important in the study of moduli spaces of curves and abelian varieties through the example of elliptic curves. The reason for working with elliptic curves is that most constructions are elementary and explicit in this case. All four approaches to moduli spaces of curves -- complex analytic, topological, algebro-geometric, and number theoretic -- are considered. Topics covered reflect my own biases. Very little, if anything, in these notes is original, except perhaps the selection of topics and the point of view.

研究の動機と目的

• 楕円曲線という具体的で取り扱いやすい例を通じて、曲線のモジュライ空間を導入すること。
• 明示的に $\mathcal{M}_{1,1}$ と $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ を構成することで、代数幾何におけるオーロリズムとスタックの使用を動機づけること。
• モジュラー形式が $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ 上のホロモーフィック・バンドルのセクションとして自然に現れる仕組みを示すこと。
• 明示的な幾何学的・位相的技法を用いて、$\mathcal{M}_{1,1}$ と $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ のピカード群とホモトピー型を計算すること。
• 複素解析的、位相的、代数幾何的、数論的視点を結びつけることで、モジュライ理論の高度な主題の教育的基盤を提供すること。

提案手法

• 上半平面 $\mathfrak{h}$ における $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の作用によって、$\mathcal{M}_{1,1}$ をオーロリズムとして構成する。
• 境界に安定楕円曲線を加えることで、デリーニュ＝マクマーレンコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ をスタック商の構成を用いて定義する。
• オーロリズムの理論を用いて、特に $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ が $\mathfrak{h}$ 上に作用する場合と、$m \geq 3$ に対して $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ が $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}[m]$ 上に作用する場合を通じて、スタックの定義を動機づける。
• 普遍楕円曲線 $\mathcal{E} \to \mathcal{M}_{1,1}$ を構成し、モジュラー形式をホロモーフィック・バンドルのセクションとして用いて、$\overline{\mathcal{E}} \to \overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ に拡張する。
• ラインバンドルとモジュラー形式を用いて、$\mathcal{M}_{1,1}$ のピカード群を $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$、$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ のピカード群を $\mathbb{Z}$ として計算する。
• オーロリズム構造と基本群を用いて、$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ のホモトピー型を分析し、モジュラー群の基本群に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上半平面への $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の作用を用いて、楕円曲線のモジュライ空間をオーロリズムとしてどのように構成できるか？
• RQ2 モジュラー形式は、$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ 上のホロモーフィック・バンドルのセクションとして、どのように現れるか？
• RQ3 モジュライ空間 $\mathcal{M}_{1,1}$ と $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ のピカード群の構造は何か？ そして、モジュラー形式を用いてそれらはどのように計算されるか？
• RQ4 スタック的視点は、特にオーロリズムの文脈において、モジュライ空間の幾何をどのように明確にするか？
• RQ5 $\mathcal{M}_{1,1}$ と $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ のホモトピー型は何か？ そして、モジュラー群の基本群とどのように関係しているか？

主な発見

• モジュライ空間 $\mathcal{M}_{1,1}$ はオーロリズムとして $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \backslash \mathfrak{h}$ に同型であり、位数2のオーロリズム点が1つ、位数3のオーロリズム点が1つ存在する。
• デリーニュ＝マクマーレンコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ は射影直線 $\mathbb{P}^1$ に同型であり、$j$-不変量の値 $0$、$12^3$、および $\infty$ に対応する3つのオーロリズム点を持つ。
• $\mathcal{M}_{1,1}$ のピカード群は $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ であり、ホロモーフィック・バンドルによって生成され、$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ のピカード群は $\mathbb{Z}$ であり、ラインバンドル $\mathcal{O}(1)$ によって生成される。
• 重さ $k$ のモジュラー形式は、$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ 上のホロモーフィック・バンドルの $k$ 乗テンソル積のホロモーフィック・セクションにちょうど一致する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ のホモトピー型は、$K(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}),1)$ 空間のものであり、基本群が $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ であり、そのコホノロジーはモジュラー形式の構造を反映する。
• 普遍楕円曲線 $\mathcal{E} \to \mathcal{M}_{1,1}$ は、モジュラー形式を用いた構成により、安定な族 $\overline{\mathcal{E}} \to \overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ に拡張され、コンパクト化された普遍曲線が安定曲線の族として実現される。