[論文レビュー] Lectures on motivic cohomology 2000/2001 (written by Pierre Deligne)

Vladimir Voevodsky|ArXiv.org|May 28, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、モデル構造を避けるアプローチを採用しながら、モチーフ的コホロロジーおよびモチーフ的ホモトピー圏の基礎的講義を提示し、主要な結果を証明する。固体的層（solid sheaves）と二つの函手 $X \mapsto X/G$ および $X \mapsto X^W$ を導入し、これらが逐次（ind-）固体的層上で局所同値および $\mathbf{A}^1$-同値を保存することを示す。これにより、対称積などの非加法的函手をモチーフ的ホモトピー圏へ拡張することが可能になる。

ABSTRACT

These lecture notes cover four topics. There is a proof of the fact that the functors represented by the motivic Eilenberg-Maclane spaces on the motivic homotopy category coincide with the motivic cohomology defined in terms of the motivic complexes. There is a description of the equivariant motivic homotopy category for a finite flat group scheme (over a noetherian base) together with a new characterization of A^1-equivalences. There is a part where we introduce a class of sheaves called solid sheaves. Finally there is a part where we study functors of the form X -> X/G and X -> X^W and show that they preserve equivalences between term-wise ind-solid simplicial sheaves.

研究の動機と目的

• モデル構造に依存せずにモチーフ的コホロロジーおよびモチーフ的ホモトピー圏を構築し、代替的なホモトピカル技法を用いて主要定理を証明すること。
• 非可換モチーフ的ホモトピー圏における $G$-スキームの $\mathbf{A}^1$-同値性を、新たな閉包条件（$\bar{\Delta}$-閉包）を用いて特徴付けること。
• $G$-スキーム上の固体的層を定義し、その性質を調べること。このクラスは、代表的層およびトム空間を含み、主要なホモロジカル操作に関して閉じている。
• 函手 $X \mapsto X/G$ および $X \mapsto X^W$ が（ind-）固体的層に制限された場合、局所同値および $\mathbf{A}^1$-同値を保存することを示すこと。
• 非加法的函手（例：対称積）を、固体的層上の導来函手を用いてスキームからモチーフ的ホモトピー圏へ拡張することを可能にすること。

提案手法

• モチーフ的ホモトピー圏は、$G$-スキーム上の単体的層に、ブラウン＝ジャーベンの閉じたモデル構造を用いて構成されるが、主な証明では明示的なモデル圏の道具を避ける。
• $\mathbf{A}^1$-同値性のクラスは、$\mathbf{A}^1$-局所化後に同型になる写像のクラスの $\bar{\Delta}$-閉包として特徴付けられる。
• 固体的層は、任意の右完全函手が開埋め込みを保存するならば左完全であるような層として定義される。この性質は導来函手の制御に用いられる。
• 函手 $X \mapsto X/G$ および $X \mapsto X^W$ は点付き層へ拡張され、押し出しおよび余極限の議論により、固体構造と同値性を保存することが示される。
• 主要な技術的道具として、余コCartesian四角形とファイバー積を用いて、$F^W$ が開写像および固体写像の下での挙動を解析する。特に局所ヘンゼル的状況において有効である。
• $F^{\wedge W}$ を $(F,\text{pt})^W_1$ による商をとることでスマッシュ積として構成することで、ホモトピー型の制御と $\mathbf{A}^1$-同値性の保存を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル構造に依存せずに、$\mathbf{A}^1$-同値性に関する主要定理を証明しつつ、モチーフ的ホモトピー圏をどのように構築できるか。
• RQ2 非可換モチーフ的ホモトピー圏における $G$-スキームの $\mathbf{A}^1$-同値性の正確な特徴付けは何か。
• RQ3 固体的層のクラスを特徴付ける性質は何か。なぜこれらの性質が主要なホモトピカル構成に対して安定しているのか。
• RQ4 函手 $X \mapsto X/G$ および $X \mapsto X^W$ は固体的層上でどのように振る舞い、局所同値および $\mathbf{A}^1$-同値を保存するか。
• RQ5 対称積などの非加法的函手は、モチーフ的ホモトピー圏へ拡張可能か。また、導来函手と可換になる条件は何か。

主な発見

• $G$-スキームのモチーフ的ホモトピー圏における $\mathbf{A}^1$-同値性のクラスは、$\mathbf{A}^1$-局所化後に同型になる写像のクラスの $\bar{\Delta}$-閉包として特徴付けられる。
• 自明な群 $G$ の場合、これは非可換設定における $\mathbf{A}^1$-同値性の新たな特徴付けをもたらす。
• 固体的層は函手 $X \mapsto X/G$ および $X \mapsto X^W$ に関して閉じており、これら函手は逐次（ind-）固体的層間の局所同値および $\mathbf{A}^1$-同値を保存する。
• スミッシュ積構成 $F^{\wedge W}$ は局所同値および $\mathbf{A}^1$-同値を保存する。また、$G$-局所ヘンゼル的スキーム上での値は、$W \times Y$ の各成分の積として与えられる。
• 点 $pt \to F$ が固体的であるための必要十分条件は、$F^{\wedge W}$ が点付き固体的であることである。これによりホモトピー的構造との整合性が保証される。
• 非加法的函手 $T(X) = (X^W \times E)/G$ の導来函手 $\mathbf{L}T$ は、固体的層上で $T$ と一致する。これにより、このような函手がモチーフ的ホモトピー圏内で表現可能になる。