[論文レビュー] Lectures on n-Categories and Cohomology

John C. Baez, Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ガロア理論と高階圏論の視点から、nカテゴリー、コホモロジー、ホモトピー論を結びつける概念的枠組みを提示する。nカテゴリーにおける対称性と群作用を通じてファイブレーションおよび構造を分類するというアイデアを導入し、連結性に基づく新しいnカテゴリーの周期表を提示する。この周期表は、連結構造と点付き構造を明確に区別することで、高階圏論およびコホモロジーにおける基礎的問題を解消する。

ABSTRACT

The goal of these talks was to explain how cohomology and other tools of algebraic topology are seen through the lens of n-category theory. Special topics include nonabelian cohomology, Postnikov towers, the theory of "n-stuff", and n-categories for n = -1 and -2. The talks were very informal, and so are these notes. A lengthy appendix clarifies certain puzzles and ventures into deeper waters such as higher topos theory. For readers who want more details, we include an annotated bibliography.

研究の動機と目的

• ガロアの原理をnカテゴリーおよびファイブレーションへ拡張することで、コホモロジー、ガロア理論、高階圏論を統合すること。
• 特に集合に基づかないトポスにおいて、nカテゴリー論における基礎的曖昧性を、連結構造と点付き構造の区別によって解消すること。
• カテゴリカルおよびホモトープ的メソッドを用いて、ポストニコフ塔とコホモロジーがn群作用およびファイブレーションをどのように分類するかを明確化すること。
• モノイド構造ではなく連結性に基づく（例：(−1)-連結、0-連結）新しいnカテゴリーの周期表を構築すること。
• 標準的なモノイド周期表がなぜ行を欠いているのか、そして連結性に基づく周期表がどのように概念的明瞭性を回復するのかを説明すること。

提案手法

• 基本群と被覆空間を、ガロア理論を高階圏へ一般化するためのプロトタイプとして用いる。
• 群作用（集合および高階群作用）の概念を適用し、対称性を通じて被覆空間およびファイブレーションを分類する。
• 「nスタッフ」と「構造、性質、スタッフ」の概念を導入し、対称性によるnカテゴリーの分類を形式化する。
• ポストニコフ塔と分解系を用いてn群作用を分解し、コホモロジー類と関連付ける。
• 各エントリがj= kから始まるちょうどn+2個の連続するj値について非自明なj-ホモトピーを持つ対象に対応する、連結性に基づく周期表を構築する。
• シェーブおよびトポスを用いて、非集合的文脈（例えば、gerbesと群のシェーブ）において連結性と点付き性が分離することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア理論は、体と被覆空間からnカテゴリーおよびファイブレーションへどのように一般化できるか？
• RQ2 なぜ標準的なnカテゴリーの周期表が行を欠いているのか、そして連結性に基づく周期表がこの問題をどのように解決するのか？
• RQ3 連結nカテゴリーと点付きnカテゴリーの正確な関係は何か？一般にはそれらが同値でないのはなぜか？
• RQ4 高階圏の文脈において、ポストニコフ塔とコホモロジーはn群作用およびファイブレーションをどのように分類するか？
• RQ5 なぜ一部のgerbesはグローバルセクションを持たないのか？これはトポスにおける連結構造と点付き構造の違いに何を意味するか？

主な発見

• 連結nカテゴリーと点付きnカテゴリーの区別は極めて重要である。Setにおいては、任意の連結nカテゴリーは非一意的な同値で点付き化可能であるが、一般のトポス（例えば、シェーブ）ではこれが成立しない。
• 連結性に基づく周期表は、欠落している行を明らかにする：(−1)-連結対象（空でない集合）は0-連結対象とは異なり、標準的なモノイド表には明らかなギャップが存在するが、これを是正する。
• コホモロジーは、nカテゴリーにおける群作用によるファイブレーションの分類から自然に生じる。ポストニコフ塔はn群作用のレイヤーキャイクル的分解を提供する。
• 基本群作用とそのファイバーへの作用は、被覆空間を分類するが、同じ対称性原理を用いて高階ホモトピー群およびn群作用へ一般化できる。
• シェーブの世界では、すべての連結群作用がグローバルセクションを持つわけではない（つまり、点付きではない）。これは、多くのgerbesが非自明であり、群のシェーブからデループできないことを説明する。
• 空集合は0-連結ではない。なぜなら、ベースポイントを持たないため、π₀(∅)は自明ではなく空集合である。これは標準的なホモトピー定義における、きわめて微妙だが重要な修正である。