[論文レビュー] Lectures on Nakajima's Quiver Varieties

Victor Ginzburg|ArXiv.org|May 5, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 38被引用数 85

ひとこと要約

この論文は、フレーム付きクービー表現のハミルトニアン還元によって構成される幾何的対象である中島のクービー多様体について、包括的な解説を提供する。これらは、Kac-Moody Lie代数の普遍包あらゆる表現を実現する。主な貢献は、Ringel や Lusztig が正部分のみを捉えていたのに対し、普遍包あらゆる表現 $U(\frak{g})$ 全体とその単純モジュールを幾何的に構成したことにある。

ABSTRACT

This is an expanded version of lectures given at a Summer School "Geometric methods in Representation Theory" (Grenoble, 2008).

研究の動機と目的

• 中島のクービー多様体を、Kac-Moody Lie代数およびその表現の幾何的実現として、体系的な紹介をすること。
• フレーム付きクービー表現の余接束のハミルトニアン還元が、豊かな代数的構造を持つ滑らかなシンプレクティック多様体を生じることを説明すること。
• これらの多様体のコホモロジーと普遍包あらゆる表現 $U(\frak{g})$ およびその可積分な最高重量モジュールとの対応関係を確立すること。
• 同等の $K$-理論を用いて、量子化された状況への拡張、特に修正された量子包あらゆる表現 $\widetilde{U}_q(\widehat{\frak{g}})$ の構成を含めること。

提案手法

• クービー $Q^\heartsuit$ を用いてフレーム付きクービー表現を構成し、その表現空間を $\mathrm{Rep}(Q^\heartsuit)$ とする。
• 余接束 $T^*(\mathrm{Rep}(Q^\heartsuit)) = \mathrm{Rep}(\overline{Q^\heartsuit})$ に対してハミルトニアン還元を施し、中島のクービー多様体 $\mathcal{M}_{\lambda,\theta}(\mathbf{v},\mathbf{w})$ を定義する。
• Steinberg多様体 $Z(\mathbf{w})$ 及びその既約成分を用いて、ボレル＝モアレ・ホモロジーへの作用を持つ畳み込み代数を定義する。
• 生成子 $U(\frak{g}_Q)$ をホモロジー内での基本類および Steinberg 多様体の成分の線形結合として実現する。
• ボレル＝モアレ・ホモロジーの代わりに、等長的 $K$-理論を用いて、量子化された状況への持ち上げを行う。
• $\mathbb{C}^\times$-作用を多様体に導入し、シンプレクティック解消の性質とコホモロジーの純粋性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレーム付きクービー表現の余接束のハミルトニアン還元として、中島のクービー多様体をどのように幾何的に構成できるか？
• RQ2 これらの多様体のコホモロジーや $K$-理論が、Kac-Moody Lie代数の普遍包あらゆる表現 $U(\frak{g})$ をどのように実現するか？
• RQ3 $U(\frak{g})$ の作用が、中心的ファイバー上でのファイバーのホモロジーにどのように幾何的に解釈できるか？
• RQ4 等長的 $K$-理論を用いて、量子化された状況、特に $\widetilde{U}_q(\widehat{\frak{g}})$ への構成はどのように拡張できるか？
• RQ5 特に中心ファイバーおよびシンプレクティック解消構造に関して、中島の多様体の位相的およびホッジ的性質は何か？

主な発見

• 中島のクービー多様体は、Kac-Moody Lie代数の普遍包あらゆる表現 $U(\frak{g})$ 全体を幾何的に構成するものであり、Ringel や Lusztig が捉えていた正部分のみに限らない。
• 多様体 $\mathcal{M}(\mathbf{v},\mathbf{w})$ のボレル＝モアレ・ホモロジーは $\widetilde{U}(\frak{g}_Q)$ の作用を持ち、修正された普遍包あらゆる表現のモジュールとして実現される。
• 中心ファイバー $\mathcal{M}_0^\circ(\mathbf{v}',\mathbf{w})$ 上の点 $x$ におけるファイバー $\mathcal{M}(\mathbf{v},\mathbf{w})_x$ は等次元的であり、最高重量 $\sum_i (w_i \cdot \varpi_i - v'_i \cdot \alpha_i)$ の可積分な単純 $\widetilde{U}(\frak{g}_Q)$-モジュールを実現する。
• 型 $A_{n-1}$ のディンキンクービーの場合、部分フラグ多様体を用いた、$\widetilde{U}_q(\widehat{\frak{sl}}_n)$ に関する先行研究の結果が再現される。
• 特異なポisson多様体 $X$ のシンプレクティック解消 $\pi: \widetilde{X} \to X$ において、中心ファイバー $\pi^{-1}(o)$ は $\widetilde{X}$ のホモトピー的リトラクトであり、コホモロジーが同型である。
• ファイバーのコホモロジーは純粋ホッジ構造 $(k,k)$ を持ち、すべての奇数次元コホモロジーが消える。これはシンプレクティック解消の剛性を反映している。