[論文レビュー] Lectures on Noncommutative Geometry

Victor Ginzburg|ArXiv.org|Jun 29, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 49被引用数 81

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何学に関する講義ノートの拡張版を提示しており、ホッフシュィルトコhomology、ポisson代数およびゲルステンハーバー代数、変形量子化、非可換微分形式といった基礎的構造に焦点を当てる。非可換チチェン＝ヴェイ理論や非可換シンプレクティック幾何学といった新しい枠組みを導入するとともに、将来の統一理論のための未解決問題と指針を強調している。

ABSTRACT

These Lectures are based on a course on noncommutative geometry given by the author in 2003 at the University of Chicago. The lectures contain some standard material, such as Poisson and Gerstenhaber algebras, deformations, Hochschild cohomology, Serre functors, etc. We also discuss many less known as well as some new results, in particular, noncommutative Chern-Weil theory, noncommutative symplectic geometry, noncommutative differential forms and double-tangent bundles.

研究の動機と目的

• 2003年のシカゴ大学での講義に基づき、非可換幾何学の基礎的および応用的トピックを包括的だが草案的な形で提供すること。
• 可換幾何学と非可換幾何学の間の概念的・構造的類似性を探る。特に、可換代数の変形としての「非可換幾何学の小さな側（in the small）」と、異なるオペラッドに従う独立した非可換世界としての「大きな側（in the large）」を区別すること。
• 非可換微分形式、二重微分作用素、二重接続バンドルといった、新しいあるいはあまり知られていない構成を導入・考察すること。
• 特に、非可換設定におけるコーサル・オペラッドと形式的滑らかさに関する未解決問題や予想を提示すること。
• 基本的原則と具体例を強調することで、非可換幾何学の将来の体系的理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 非可換代数における変形および微分作用素の研究に、ホッフシュィルトホモロジーおよびコホモロジーを主な道具として用いる。
• バーコンプレックスの構成を用いて、特に ${\rm P}$-代数に対して、オペラッド上の代数のコホモロジーオブジェクトを定義する。
• 零イデアル上での持ち上げ性質を用いて、${\rm P}$-代数に対する形式的滑らかさの概念を定義し、古典的代数幾何学の概念を一般化する。
• ホッフシュィルト＝コスタント＝ローゼンバーグの定理を用いて、非可換設定におけるホッフシュィルトコホモロジーと微分形式の関係を確立する。
• 循環コホモロジーを用いて、古典的特性類を非可換代数へ類推することで、非可換チチェン＝ヴェイ理論を構築する。
• オペラッド理論的枠組みを用いて、可換幾何（可換代数のオペラッド）と非可換幾何（結合代数のオペラッド）の違いを明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 将来の非可換幾何学理論に含めるべき最小限の構造的原則は何か？
• RQ2 非可換設定における、非可換1形式のモジュール $\Omega^1_{\mathcal{P}}A$ の滑らかさおよび射影性が、形式的滑らかさとどのように関係するか？
• RQ3 ${\mathcal{P}}$ がコーサルであるとき、${\mathcal{P}}$-代数のバーコンプレックス ${{\mathsf{B}}_{\bullet}^{\mathcal{P}}A}$ が非可換微分形式のモジュールの分解として機能するかどうか？
• RQ4 非可換チチェン＝ヴェイ理論と循環コホモロジーの正確な関係は何か？ そして、これは古典的チチェン＝ヴェイ同型をどのように一般化するか？
• RQ5 ある代数が可換な意味で滑らかであっても、非可換な「大きな側」の意味で滑らかでない場合があるのはなぜか？ そして、オペラッド理論はこの現象において果たす役割は何か？

主な発見

• ホッフシュィルトコホモロジー $H^i_{\mathcal{P}}(A,M)$ は、複体 $\operatorname{Hom}_{{A\text{-}{\sf mod}}}({{\mathsf{B}}_{\bullet}^{\mathcal{P}}A}, M)$ のコホモロジーと同型であり、${\mathcal{P}}$-代数のコホモロジーに対するホモロジー的解釈を確立する。
• ${\mathcal{P}}$-代数 $A$ の形式的滑らかさは、$\Omega^1_{\mathcal{P}}A$ の射影性および写像 $I/I^2 \to \mathcal{U}^{\mathcal{P}}A \otimes_{\mathcal{U}^{{\mathcal{P}}\!}R} \Omega^1_{\mathcal{P}}R$ の単射性に同値であり、古典的基準を一般化する。
• 任意の ${\mathcal{P}}$-代数 $A$ に対して、$H^2_{\mathcal{P}}(A,M)$ が消えるための必要十分条件は、$\Omega^1_{\mathcal{P}}A$ が射影的であることである。これにより、コホモロジーの消滅と幾何的性質が結びつく。
• ${{\mathsf{B}}_{\bullet}^{\mathcal{P}}A}$ が $\Omega^1_{\mathcal{P}}A$ を分解する（すなわち $H_i({{\mathsf{B}}_{\bullet}^{\mathcal{P}}A}) = 0$ for $i > 1$）という予想が成り立つならば、$H^i_{\mathcal{P}}(A,M)$ は $\operatorname{Ext}^i_{A\text{-}{\sf mod}}(\Omega^1_{\mathcal{P}}A, M)$ と同型であることが示され、コホモロジーと導来函手が統合される。
• $\Omega^{{\bullet}}_{\mathcal{P}}A \to C^{\mathcal{P}}_{\bullet}(A,A)$ の自然な準同型写像の存在は、非可換デ・ラーム複体の類似物を示唆し、非可換微積分の発展を支援する。
• $A$ が形式的に滑らかで、$M$ が $A$-モジュールとして射影的であるならば、テンソル代数 $T_A M$ も形式的に滑らかである。これは、形式的滑らかさの性質が特定の構成に対して安定であることを示している。