[論文レビュー] Lectures on nonlinear integrable equations and their solutions

A. Zabrodin|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非線形可積分系の包括的紹介を提供し、Lax表現、tau関数、フェルミオン的構成を通じてKdV、KP、Toda格子方程式に焦点を当てる。可積分階層とフェルミオン的演算子の真空期待値との間に深い関係を確立し、ボソン-フェルミオン対応およびヒロタ双線形法を用いて双線形恒等式とソリトン解を導出する。

ABSTRACT

This is an introductory course on nonlinear integrable partial differential and differential-difference equ\-a\-ti\-ons based on lectures given for students of Moscow Institute of Physics and Technology and Higher School of Economics. The typical examples of Korteweg-de Vries (KdV), Kadomtsev-Petviashvili (KP) and Toda lattice equations are studied in detail. We give a detailed description of the Lax representation of these equations and their hierarchies in terms of pseudo-differential or pseudo-difference operators and also of different classes of the solutions including famous soliton solutions. The formulation in terms of tau-function and Hirota bilinear differential and difference equations is also discussed. Finally, we give a representation of tau-functions as vacuum expectation values of certain operators composed of free fermions.

研究の動機と目的

• 大学院生および研究者を対象に、非線形可積分偏微分方程式および差分方程式の体系的導入を提供すること。
• KdV、KP、Toda格子方程式のLax表現、階層構造、保存則を説明すること。
• $ψ$関数、バーグ・アキエツェル関数、およびヒロタ双線形法を用いてソリトン解を導出すること。
• 真空期待値およびボソン-フェルミオン対応を用いて、tau関数のフェルミオン的表現を確立すること。
• tau関数の形式および双線形恒等式を通じて、さまざまな可積分系を統一すること。

提案手法

• 擬微分および擬差分作用素を用いたLax表現を用いて、KdVおよびKP階層を記述する。
• ヒロタ-ミワ方程式および連続極限を用いて、ヒロタ双線形法を適用し、ソリトン解を導出する。
• $ψ$関数およびバーグ・アキエツェル関数を用いて解を構成し、保存則および対称性と関連付ける。
• 正規順序化された演算子および頂点演算子を用いたフェルミオン的フォック空間形式を用いて、tau関数を表現する。
• 基本双線形関係および一般化されたウィックの定理を用いて、tau関数の双線形恒等式（BBR）を導出する。
• ボソン-フェルミオン対応を確立し、フェルミオンの真空期待値をKPおよび2DTL階層のtau関数に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KdVおよびKP方程式は、Lax表現および擬微分作用素を用いてどのように体系的に導出・解けるか？
• RQ2 tau関数は、可積分階層全体にわたるソリトン解を統一的にどのように果たすか？
• RQ3 フェルミオン的演算子および真空期待値は、KPおよび2DTL階層の解をどのように生成するか？
• RQ4 双線形恒等式とヒロタ-ミワ方程式の間の関係は、可積分系の文脈でどのように解釈されるか？
• RQ5 ボソン-フェルミオン対応は、tau関数を真空行列要素としてどのように実現するか？

主な発見

• KdV階層は、そのLax対およびゲルファンド-ディキの係数によって完全に特徴付けられ、無限個の保存則を生成する。
• KdV方程式のマルチソリトン解は、基本補題およびバーグ・アキエツェル関数を用いた$ψ$関数により構成される。
• KP階層は非局所的$\bar{\partial}$-問題を通じて一般解を有し、有理型、三角関数型、楕円型、代数幾何的解を含む。
• mKP階層のtau関数は、$z$に依存する重みを含む双線形関係を満たし、KPの双線形恒等式を一般化する。
• 2DTL階層の$N$ソリトン解は、電荷$+1$の$N$個のフェルミオン的演算子の真空期待値として明示的に実現され、標準形式と一致する。
• フェルミオン的構成により、$\tau_n(\mathbf{t}) = \langle n| e^{J_+(\mathbf{t})} G e^{-J_-(\mathbf{t})} |n\rangle$ として、$G$をフェルミオン双一次形の正規順序指数関数として得る、tau関数の全階層が得られる。