[論文レビュー] Lectures on open strings, and noncommutative gauge fields

Nikita Nekrasov|ArXiv.org|Mar 12, 2002

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、$α' \to 0$極限におけるYang-Mills代数を基盤構造として用い、平坦および曲がった時空におけるD-brane上での非可換ゲージ理論の背景依存性のない定式化を提示する。D-braneに磁場、インスタントン、モノポールを伴う古典的解を構成し、ねじれ変形を用いて軌道空間およびK3面へ一般化し、非可換ADHM構成の完全性を確立するとともに、オープンスレッド場理論とMatrix理論を結びつける。

ABSTRACT

The background independent formulation of the gauge theories on D-branes in flat space-time is considered, some examples of the solutions of their equations of motion are presented, the solutions of Dirac equation in these backgrounds are analyzed, and the generalizations to the curved spaces, like orbifolds, conifolds, and K3 surfaces, are discussed.

研究の動機と目的

• 平坦時空におけるD-brane上でのゲージ理論の背景依存性のない定式化を構築し、固定された時空背景に依存しないようにすること。
• 磁場、角度、インスタントンなどのさまざまな配置を持つD-braneに対応する非可換ゲージ理論の古典的解を探索すること。
• ねじれ変形および一般化された真空方程式を用いて、軌道空間、コノイド、K3面などの曲がった背景へ枠組みを拡張すること。
• インスタントン背景におけるディラック方程式の解の解析を通じて、非可換ADHM構成の完全性を確立すること。
• 形式的枠組みをオープンスレッド場理論およびMatrix理論と結びつけ、非可換幾何学および超弦理論におけるその基盤的役割を強調すること。

提案手法

• ヒルベルト空間$\mathcal{H}$上のエルミート作用素$Y^i$を用いて形式的作用が定義され、ユニタリ変換におけるゲージ対称性を有する。
• Yang-Mills代数$\mathcal{A}_{\text{YM},d}$は、$Y^i$が運動方程式$g_{kl}[Y^k,[Y^l,Y^j]] = 0$を満たすように生成される結合代数として定義される。
• 平坦時空におけるD-braneに対して、D-braneが角度をとる場合、磁場を伴う場合、およびインスタントンやモノポールなどの拡張対象を含む解が構成される。
• 曲がった背景では、軌道空間の商とねじれセクターが用いられ、非可換性と$\mathbb{Z}_2$作用を記述する$U_l$、$\Omega$、$Y^i$の代数的関係が導入される。
• 真空方程式は、ねじれ変形$\mu^{ij}_l$と$\zeta_e$を含むように一般化され、$2\Gamma_0$の周期性を要求する整合性条件により、無限のパラメータが有限のものに削減される。
• インスタントンおよびモノポール背景におけるディラック方程式が解かれ、非可換ADHM構成の完全性が証明され、非可換幾何における双対性と結びつけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦時空において、D-brane上での背景依存性のない非可換ゲージ理論の定式化を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 磁場、角度、および拡張トポロジーを持つD-braneに対応する非可換ゲージ理論の古典的解は何か？
• RQ3 インスタントン背景におけるディラック方程式の解を用いて、非可換ADHM構成が完全であることを証明し、可換版と同等であることを示すにはどうすればよいか？
• RQ4 軌道空間およびK3背景におけるねじれ変形が真空方程式に与える影響は何か？また、整合性から生じる制約条件は何か？
• RQ5 $\alpha' \to 0$極限において、Yang-Mills代数がオープンスレッド場理論とMatrix理論を統合する役割を果たすメカニズムは何か？

主な発見

• D-braneの世界面理論における$\alpha' \to 0$極限において、Yang-Mills代数$\mathcal{A}_{\text{YM},d}$が基本的代数として出現し、その表現論はほとんど未知のままである。
• 磁場、角度、インスタントンを伴うD-braneの古典的解が構成され、開ストリングスペクトルにおける負のモードが不安定性を示唆する。
• インスタントン背景におけるディラック方程式の明示的解法により、非可換ADHM構成の完全性が証明され、非可換幾何における双対性の非可換版が確立される。
• K3面では、非可換ゲージ理論が$\mathbb{R}^4/\Gamma_0 \times \mathbb{Z}_2$の軌道空間の変形から生じ、ねじれ変形$\mu^{ij}_l$が$\Gamma_0/2\Gamma_0$の剰余類によってパラメータ化され、無限のパラメータが有限のものに削減される。
• コノイド上の一般化された真空方程式には、ねじれ項$\zeta_e$と$\zeta_l$が含まれ、$[B_1,B_2] = \sum_l U^l(\zeta_l + m_l \Phi)$を満たし、$\mathcal{N}=2$超対称性が保存される。
• $\zeta_e = 0$のとき、不純物を伴う自己双対性方程式(5.14)の明示的解が構成され、非可換トーラス上の$\mathbb{Z}_2$-不変インスタントンに対応する。